3.2.2 奇偶性 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高中数学人教a版 函数的奇偶性 主讲人 赵闯 一起牢记本节课的学习目标吧！！ 1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法； 2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题． 【重点】利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．【难点】运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题． 图象关于y轴对称 偶函数 x∈R, f(-x)=f(x) 设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有-x∈D，且 f(-x)＝f(x)， 那么函数f(x)就叫做偶函数. 到底什么叫做偶函数呢？？？？？ 设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有-x∈D，且 f(-x)＝-f(x)， 那么函数f(x)就叫做奇函数. x y o y=x3 奇函数 函数奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f（0）=0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f（x）=f（｜x｜）. 利用函数奇偶性求解析式的步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设x （2）利用已知区间的解析式代入. 一起来看看小例题吧！！ 1.判断对错 (1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(　　) (2)一个奇函数与一个偶函数的积函数是偶函数．(　　) (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性．(　　) (4)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(　　) (1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)、g(x)的解析式. 解：用-x替换f(x) +g(x)=x2+2x中的x，得 f(-x)+g(-x)=x2-2x ① 由已知，f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x)， 所以有： f(x)-g(x)=x2-2x ② 联立①②，解得f(x)=x2 ，g(x)=2x 3.设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(2)＝0，则 ＜0的解集为(　　) A．{x|x＜－2或x＞2}B．{x|x＜－2或0＜x＜2}C．{x|－2＜x＜0或x＞2}D．{x|－2＜x＜0或0＜x＜2} A 4。已知函数f(x)＝ax3－bx＋3(其中a、b为常数)，若f(3)＝2015，则f(－3)＝ 设g(x)＝f(x)－3，则g(x)＝ax3－bx，显然g(x)为R上的奇函数．又g(3)＝f(3)－3＝2015－3＝2012，所以g(－3)＝－g(3)，即f(－3)－3＝－2012，解得f(－3)＝－2009. 5.已知f(x)，g(x)是R上的奇函数，试判断 y=f(x)+g(x), y=f(x)g(x), y=f[g(x)]的奇偶性. 解：因为f(-x)+g(-x)=-(f(x)+g(x)) 所以y=f(x)+g(x)是R上的奇函数； 因为f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x) 所以y=f(x)g(x)是R上的偶函数； 因为f[g(-x)]=f[-g(x)]=-f[g(x)] 所以y=f[g(x)]是R上的奇函数. 6.判断下列函数的奇偶性： f(x)= (a∈R) 定义域为R， 当a≠0时，f(-x)=-f(x) 函数f(x)=是奇函数； 当a=0时，f(x)=0在R上恒成立 函数f(x)=既是奇函数又是偶函数. 7.已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( )A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9)C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10) D 方法归纳 利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f\”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响． 课堂小结 1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现