重难点07 函数的周期性、对称性十大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

重难点07函数的周期性、对称性十大题型汇总 技巧一.函数周期的常见结论设函数 1.若，则函数的周期为； 2.若，则函数的周期为 2； 3.若则函数的周期为； 4.若，则函数的周期为； 技巧二.对称轴常见类型 1. 图像关于直线对称 2. 的图象关于直线对称 3. 的图象关于直线对称 4. 的图象关于直线对称 技巧三.对称中心常见类型 1. 图像关于直线对称 2. 的图象关于点对称 3. 的图象关于点对称 4. 的图象关于点对称 技巧四.周期与对称性的区分 1.若则具有周期性； 2.若,则具有对称性： 口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 技巧五.周期的计算 1.若函数关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数的周期为2|b－a|； 2.若函数关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数的周期是2|b－a|； 3.若函数关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数的周期是4|b－a|； 4.若函数是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； 5.若函数是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a. 题型1简单的周期性求值 【例题1】（2023秋·高一课时练习）若函数是周期为3的周期函数，且，则 . 【变式1-1】1. （2020·浙江·高一期末）已知函数对于任意实数满足条件，若，则（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】2.（多选）（2023春·安徽蚌埠·高一统考期末）若定义在上的函数分别满足下列条件，其中可以得出的周期为2的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）已知定义在R上的奇函数满足恒成立，且，则的值为 ． 【变式1-1】4. （2023春·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）定义在R上的函数满足，则 ． 【变式1-1】5. （2023·全国·高一课堂例题）已知偶函数满足，则 ． 【变式1-1】6. （2023春·湖北咸宁·高一统考期末）定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 题型2对称中心问题 【例题2】（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）设函数的图象关于点对称，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】1.（2023秋·湖南湘西·高一校考期中）已知函数的图象关于原点对称，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-1】2.（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）定义在R上的函数为奇函数，，又也是奇函数，则 ． 【变式2-1】3. （2021春·江西抚州·高一临川一中校考期末）已知函数对任意都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-1】4. （2022秋·浙江嘉兴·高一统考期末）已知定义在R上的函数满足，且函数的图象关于对称，则 . 【变式2-1】5. （2021秋·广东茂名·高一校考期末）已知，则 【变式2-1】6. （2022秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）函数的图像关于点中心对称，则 . 【变式2-1】7.（多选）（2022秋·山东潍坊·高一校考期中）若定义在上的减函数的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．的解集为 D． 题型3对称轴问题 【例题3】（2021秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）奇函数的图像关于直线对称，，则 . 【变式3-1】1. （多选）（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）已知定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减．则下列判断正确的是（    ） A． B． C．图象的对称轴为 D．若，则 【变式3-1】2.（多选） （2023秋·湖南衡阳·高一统考期末）奇函数满足，则下列选项正确的是（    ） A．的一个周期为2 B． C．为偶函数 D．为奇函数 【变式3-1】3.（多选）（2023秋·湖北十堰·高一统考期末）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（    ） A．的对称中心为 B．的对称轴为直线 C． D．不等式的解集为 【变式3-1】4.（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）若函数；且，则 . 【变式3-1】5. （2021秋·江苏苏州·高一统考期末）已知函数的图象关于直线对称，则 ； 函数的最小值为 . 【变式3-1】6. （2022秋·广东广州·高一广东实验中学校考期中）若函数的图象关于直线对称，则的最小值是 ． 题型4对称轴、对称中心问题