专题13 函数的基本性质—奇偶性、周期性和对称性（3知识点+4题型）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

专题13：函数的基本性质—奇偶性、周期性和对称性（3知识点+4题型） 函数的基本性质—奇偶性、周期性和对称性 常考题型 函数的对称性 函数的周期性 函数的奇偶性 题型一：函数奇偶性的判断与证明 题型二:函数奇偶性的应用 题型三：函数奇偶性及对称性 题型四：函数奇偶性、对称性及周期的应用 知识点一：函数的最大（小）值 （1）函数奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 （2）函数奇偶性的性质 （1）若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质： ① 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）； ③图像关于y轴对称； ④偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性 （2）奇函数的性质 若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质： ①定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）； ③图像关于原点（0,0） 对称； ④若在处有意义，则f（0）=0; ⑤奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。 ⑥奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。 知识点二：函数的周期性 （1）函数的周期性 ①周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. （2）函数周期性的常用结论 （3）函数的的对称性与周期性的关系 ①若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； ②若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 知识点三：函数的对称性 （1） 函数的对称性轴常用结论 ①若，则函数关于对称． ②若，则函数关于对称． ③若函数为偶函数，则函数关于对称． （2） 函数的对称中心常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． ②若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称． 题型一：函数奇偶性的判断与证明 解题思路：函数的奇偶性判定方法 （1）定义法： （2）图像法： （3）性质法： 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇． 例1．下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．设函数的定义域为为奇函数是为偶函数的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例3．函数满足，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都有.则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 变式训练 5．（多选题）给定四个函数，其中是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 7．（多选题）关于函数，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．是偶函数 C．在上递减 D．图象关于原点对称 8．（多选题）函数对于任意实数满足，则下列关于函数奇偶性说法错误的是（    ） A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．可能是奇函数也可能是偶函数 题型二:函数奇偶性的应用 解题思路：利用函数奇偶性的性质求值、求参数、求解析式和解不等式等 （1）若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质： ① 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）； ③图像关于y轴对称； ④偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性 （2）奇函数的性质 若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质： ①定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）； ③图像关于原点（0,0） 对称； ④若在处有意义，则f（0）=0; ⑤奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。 ⑥奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。 例1．已知是定义在上的奇函