重难点02 一元二次不等式恒成立与能成立问题（满分技巧+5种热点题型+限时检测）-【提分笔记】2023-2024学年高一数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019必修第一册）

重难点02 一元二次不等式恒成立与能成立 一、一元二次不等式在实数集上的恒成立 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集， 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； 方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为， 则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即. 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。 四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒. 2、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒. 【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立】 【例1】（2023秋·河南商丘·高一校考阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·河南郑州·高一校考阶段练习）若不等式对一切实数x都成立，则的范围是（ ） A． B． C． D．或 【变式1-2】（2023秋·河南郑州·高一校考阶段练习）（多选）关于x的不等式的解集为R的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D．或 【变式1-3】（2023秋·广东珠海·高一校考阶段练习）当取什么值时，不等式对一切实数恒成立. 【变式1-4】（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知不等式的解集为或． （1）求的值； （2）为何值时，的解集为． 【题型2 一元二次不等式在某区间上恒成立】 【例2】（2023·上海·高一专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·北京·高一校考阶段练习）“”是“在上恒成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2023秋·河南新乡·高一统考阶段练习）当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 【变式2-3】（2023秋·河南新乡·高一校考阶段练习）不等式对任意恒成立，则m的取值范围为 ． 【变式2-4】（2023秋·湖北宜昌·高一校联考阶段练习）若对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-5】（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立】 【例3】（2023秋·广东深圳·高一校考阶段练习）当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·全国·高一专题练习）对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）若，为真命题，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022秋·重庆·高一校考阶段练习）设对恒成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【题型4 一元二次不等式在实数集上有解】 【例4】（2023秋·山东泰安·高一学校考阶段练习）若不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A．或 B． C． D． 【变式4-1】（2023秋·全国·高一专题练习）若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（2023秋·湖南长沙·高一校考阶段练习）（多选）关于x的不等式的解集为非空集合的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C．