3.1.2椭圆的简单几何性质10题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.2椭圆的简单几何性质10题型分类 一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 二、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y得到一个关于x的一元二次方程． 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 （一） 椭圆的简单几何性质 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 题型1：研究椭圆的简单几何性质 1-1．（2023·全国·高二随堂练习）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： (1)； (2)； (3). 1-2．【多选】（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）关于椭圆，以下说法正确的是（    ） A．长轴长为4 B．焦距为 C．离心率为 D．左顶点的坐标为 1-3．（2023秋·高二课时练习）椭圆与椭圆的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 1-4．（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知椭圆的方程为，则椭圆（    ） A．长轴长为16 B．短轴长为 C．焦距为2 D．焦点为 题型2：由几何性质求标准方程 2-1．（2023秋·广东梅州·高二校考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)经过两点. (3)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 2-2．（2023秋·江苏常州·高二常州市第二中学校考阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 2-3．（2023秋·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考期中）已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型3：点和椭圆的位置关系 3-1．（2023·江苏·高二专题练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 3-2．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 3-3．（2023·江苏·高二专题练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （二） 求椭圆的离心率 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 题型4：求椭圆的离心率及取值范围 4-1．（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4-2．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考开学考试）已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4-3．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 4-5．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C