3.1.1椭圆及其标准方程6题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1椭圆及其标准方程6题型分类 一、椭圆的定义 1．定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 （一） 求椭圆的标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 题型1：椭圆概念的辨析 1-1．【多选】（2023·全国·高二专题练习）平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 1-2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 1-3．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 1-4．（2023秋·高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 题型2：求椭圆的标准方程 2-1．【多选】（2023秋·云南红河·高二校考阶段练习），为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023秋·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点，． 2-3．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点． (4)经过点，两点； (5)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点. (6)焦点坐标为，过点； (7)经过两点． （二） 椭圆的定义及其应用 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化． (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． (3)椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量． 焦点三角形的常用公式： (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. (3)设P(xP，yP)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|yP|＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan. 题型3：椭圆的定义及其应用 3-1．（2023秋·安徽池州·高二东至县第二中学校考阶段练习）若，则方程表示（ ） A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 3-2．【多选】（2023秋·河北邯郸·高二校考阶段练习）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 3-3．【多选】（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 3-4．（2023·江苏·高二专题练习）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3-5．（2023秋·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3-6．（2023·江苏·高二专题练习）若方程