3.3.1抛物线及其标准方程4题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.1抛物线及其标准方程4题型分类 一、抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 二、抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ （一） 抛物线定义的理解 抛物线的定义 1．抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．集合表示：.其中定点F为焦点，定直线l为准线. 2.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 题型1：抛物线定义的理解 1-1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（ ） A．抛物线 B．直线 C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确 1-2．（2023春·高二校联考阶段练习）抛物线y＝－x2的准线方程为（    ） A．x＝ B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2 1-3．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（    ）. A． B． C．2 D．4 1-4．（北京市汇文中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题）已知抛物线的焦点为是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 1-5．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）设点的坐标为，点在抛物线上移动，到直线的距离为，则的最小值为 A． B． C． D． 1-6．（2023秋·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 1-7．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 1-8．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （二） 求抛物线的标准方程 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 题型2：求抛物线的标准方程 2-1．（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）抛物线C：过点，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 2-3．（2023春·四川雅安·高二雅安中学期中）已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为 A． B． C． D． 2-4．（2023·江苏·高二假期作业）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 . 2-5．（2017秋·吉林·高二校联考期中）已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为 A．（1,0） B． C． D．（0,1） 2-6．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2-7．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点.求该抛物线的标准方程. 2-8．（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. （三） 利用抛物线定义解决轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型3：利用抛物线定义解决轨迹问题 3-1．（2023·全国·高二随堂练习）一圆经过点，且和直线相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形. 3-2．（2023秋·江苏