3.2.2双曲线的简单几何性质8题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的简单几何性质8题型分类 一、双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 二、等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 三、直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 四、弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. （一） 双曲线的标准方程与几何性质 1．由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 2．由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧：渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 题型1：由双曲线的方程研究几何性质 1-1．（2023·全国·高二随堂练习）求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图： (1)； (2)． 1-2．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（    ） A．9 B．－9 C． D． 1-3．（2023春·新疆和田·高二校考期中）椭圆和双曲线的焦距分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 1-4．【多选】（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知双曲线，则下列选项正确的是（    ） A．渐近线方程 B．顶点坐标 C．离心率 D．焦距为3 题型2：由双曲线的性质求双曲线的标准方程 2-1．（2024秋·山东临沂·高三校联考开学考试）已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023秋·广东东莞·高三校考阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 2-3．【多选】（2023秋·海南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2-4．（2023·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 2-5．（2023秋·高二课时练习）求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程. （二） 求双曲线的渐近线与离心率 双曲线的渐近线、离心率： 双曲线的方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 a,b,c的关系 c2＝a2＋b2 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 题型3：双曲线的渐近线问题 3-1．（2023秋·江苏南通·高二统考阶段练习）等轴双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3-2．（2023秋·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2023秋·宁夏银川·高二银川一中校考期中）双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 3-4．（2023秋·四川眉山·高三四川省眉山第一中学校考开学考试）设双曲线 (，)的虚半轴长为1，半焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B．