3.2.1双曲线及其标准方程6题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.1双曲线及其标准方程6题型分类 一、双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 二、双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 （一） 双曲线定义的应用 1、双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 2、双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 题型1：双曲线的定义及应用 1-1．（2023秋·高二课前预习）判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线.( ) （2）平面内到点，的距离之差等于的点的轨迹是双曲线．( )     （3）平面内到点，的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线．( ) （4）双曲线的标准方程中，，的大小关系是.( ) 1-2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2023·江苏·高二假期作业）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 （二） 求双曲线的标准方程 1、待定系数法求双曲线标准方程的方法： 2、求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 题型2：求双曲线的标准方程 2-1．（2023秋·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 2-3．（2023秋·内蒙古包头·高二校考阶段练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 2-4．（2023·江苏·高二假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． 题型3：由双曲线的标准方程求参数 3-1．（2023秋·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）若方程表示双曲线，则的取值范围是 ． 3-2．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3-3．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-4．【多选】（2023秋·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期中）已知曲线：，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则是两条直线 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是椭圆 D．若，则是椭圆，其焦点在轴上 3-5．【多选】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 （三） 双曲线的焦点三角形问题 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出. ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式. ③通过配方，利用整体的思想求出的值. ④利用公式求得面积. （2）利用公式求得面积. （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 题型4：双曲线的焦点三角形问题 4-1．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则 . 4-2．（2023