专题05 反比例函数全攻略-【满分冲刺】2023-2024学年九年级数学上学期期末重点题型归纳与复习(沪科版）

专题05 反比例函数全攻略 目录 【典型例题】 1 【题型一 反比例函数中的几何意义——单𝑘模型】 1 【题型二 反比例函数中的几何意义——双𝑘模型】 2 【题型三 反比例函数与一次函数的综合应用】 3 【题型四 反比例函数的应用】 1 【专项综合检测】 9 【题型一 反比例函数中的几何意义——单模型】 【方法指导】 【知识点1 单一象限内的几何意义的应用】 设是双曲线上任意一点，则或. （1） 如图1，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A,B，则. （2） 如图2，过点P作轴的垂线，垂足为A，连接OP，则 .（特别提醒：过点P作轴的垂线，其结论仍然成立） （3） 如图3，C为y轴上任意一点，过点P作轴的垂线，垂足为A，过点C作AP的垂线，垂足为H，连接CP，CA，则. 【知识点2 不同象限内的几何意义的应用】 设P,P1是双曲线不同象限上的两点，且点P,P1关于原点对称，设点P的坐标为，则点P1的坐标为. （4） 如图4，过点P作轴的垂线，过点P1作轴的垂线，交于点A，连接PP1，则. （5） 如图5，过点P1作轴的垂线，垂足为C，过点P作，交的延长线于点A，连接PP1，PC，则. （6） 如图6，过点P1作轴的垂线，垂足为C，过点P作，交的延长线于点A，连接PP1，PC，则. 【典型例题】 【例1】（江苏省盐城市盐城外国语、射阳外国语和射阳二中2023-2024学年九年级上学期第一次素质测评数学试题）如图，点A在双曲线的第一象限的图像上，垂直于y轴于点B，点C在x轴的正半轴上，且，点E在线段上，且，点D为的中点，若的面积为3，则k值为 ．    【例2】（2023秋·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在反比例函数的图象上，对角线与相交于坐标原点O，若点，菱形的边长为5，则k的值是 ．    【例3】（2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，的顶点在轴的正半轴上，点，点在第一象限，且直角边平行于轴，反比例函数且的图象经过点和边的中点，则的值为 ．    【强化训练】 1、（2023秋·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）如图，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之和最小时，则点的坐标是 ．    2、（2023秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点，在函数 (，)图象上，轴，轴，连接，．    （1）若，的面积为9，则的值为 ． （2）在（1）的条件下，若四边形的面积为14，则经过点的反比例函数解析式为 ． 3、（2023秋·山东东营·九年级东营市东营区实验中学校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为 ．    【题型二 反比例函数中的几何意义——双模型】 【方法指导】 【知识点3 双模型的图象特征】 设是双曲线上任意一点，是双曲线上任意一点，，则//轴或轴. （1） 如图1，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，过点作轴的垂线，垂足为E，由单模型可知，，，则. （2） 如图2，过点作轴的垂线，垂足为C，由单模型可知，，，则. （3） 如图3，过点作轴的垂线，垂足为C，由单模型可知，，，则. （4） 如图4，由单模型可知，，，则.若C为轴上任意一点，因为与同底等高，所以. 【典型例题】 【例4】（2023秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值= ．    【例5】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，平行四边形的顶点B在双曲线上，顶点C在双曲线上，中点P恰好落在y轴上，已知，则 ．    【例6】（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图，、两点在双曲线上，、两点在双曲线上，若轴，且，则的面积为 ．    【强化训练】 1、（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图，为双曲线上的一点，轴，垂足为，交双曲线于，轴，垂足为，交双曲线于，连接，则的面积是 ．      2、（2023秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，所在直线垂直x轴于点C，M是y轴上一点，连接，，若，则k的值等于 ． 3、（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，点，在反比例函数（，）的图象上，且轴，过，分别作轴的垂线，垂足为，，交于点，