专题04 二次函数中动点存在性问题全攻略-【满分冲刺】2023-2024学年九年级数学上学期期末重点题型归纳与复习(沪科版）

专题04 二次函数中动点存在性问题全攻略 目录 【典型例题】 1 【题型一 等腰三角形存在性问题】 1 【题型二 直角三角形存在性问题】 2 【题型三 等腰直角三角形存在性问题】 3 【题型四 平行四边形存在性问题】 1 【题型五 菱形存在性问题】 2 【题型六 矩形存在性问题】 3 【题型七 正方形存在性问题】 3 【题型一 等腰三角形存在性问题】 【方法指导】 【知识点1 解决等腰三角形存在性问题的方法】 1、“两圆一线”找动点 是等腰三角形，是定点，是动点，确定点的轨迹：①以点为圆心、长为半径作圆； ②以点为圆心、长为半径作圆；③作线段的垂直平分线. 2、求动点坐标的方法 等腰三角形动顶点坐标求法：①代数法（设出动顶点坐标，通常用一个未知数表示），分别求出三边长的平方，分三种情况，列方程求解. ②几何法，画“两圆一线”，根据图形求解. 两点距离公式：，，则 中点坐标公式：，，则的中点坐标为 已知直线,，,若，则. 【典型例题】 【例1】（2023·广东·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值． 【例2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【例3】（2023春·广东·九年级专题练习）如图，抛物线过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【强化训练】 1、（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 2、（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 3、（2023春·湖北黄石·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为，△AEO的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线的顶点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标． 【题型二 直角三角形存在性问题】 【方法指导】 【知识点2 解决直角三角形存在性问题的方法】 1、“两线一圆”找动点 是直角三角形，是定点，是动点，确定点的轨迹：①过点作的垂线； ②过点作的垂线；③以为直径作圆. 2、求动点坐标的方法 直角三角形动顶点坐标求法：①垂直求“”值及定点定长法； ②“一线三直角”模型法；（1、先作出过该直角三角形的直角顶点的“横平”或“竖直”的直线；2、过两锐角顶点作该“横平”或“竖直”直线的垂线，构造全等三角形.） ③勾股定理法. 【典型例题】 【例4】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 【例