专题03 二次函数的最值问题全攻略-【满分冲刺】2023-2024学年九年级数学上学期期末重点题型归纳与复习(沪科版）

专题03 二次函数的最值问题全攻略 目录 【典型例题】 1 【题型一 二次函数的区间最值问题】 1 【题型二 利用二次函数的性质解决线段最值问题】 4 【题型三 利用“将军饮马”解决线段最值问题】 7 【题型四 动点产生的面积最值问题】 11 【专项综合检测】 15 【题型一 二次函数的区间最值问题】 【方法指导】 【知识点1 求二次函数的区间最值方法】 1、当自变量取全体实数时，求二次函数的最大（小）值的方法有三种： （1） 配方法：配方化为顶点式求最大（小）值； （2） 公式法：直接代入顶点坐标公式求最大（小）值； （3） 公式代入法：先用公式求出的值，再带入函数解析式中求最大（小）值. 2、当自变量取某个范围（区间）时，要根据函数图像的开口方向、对称轴与自变量范围（区间）的关系进行分类讨论，其中对称轴为，自变量的取值范围为. 二次函数 当时，取最小值 当时，取最大值 当时，取最小值 当时，取最大值 当时，取最小值，若离较远，则当时，取最大值 当时，取最大值 当时，取最小值 当时，取最大值 当时，取最小值 当时，取最大值，若离较远，则当时，取最小值 【典型例题】 【例1】（1）（2023秋·浙江·九年级专题练习）当时，二次函数有最大值4，则实数的值为 ． （2）（2023秋·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习）当时，函数的最小值为4，则a的值为 ． 【例2】（2023秋·九年级课时练习）已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． (1)求b，c的值． (2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 【例3】（2023春·安徽·九年级专题练习）已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c； (1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值； (2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值； (3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________． 【强化训练】 1、（2023·安徽·九年级专题练习）已知二次函数. （1）当时，二次函数的最小值为 ； （2）当时，二次函数的最小值为1，则 . 2、（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是 ． 3、（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）已知抛物线与轴的两个交点为，，与轴的交点为． (1)直接写出不等式的解集； (2)若点的纵坐标为． ①求a，b，c的值； ②若，求函数的最大值和最小值． 【题型二 利用二次函数的性质解决线段最值问题】 【方法指导】 【知识点2 铅锤线段的最值问题】 如图，为抛物线上一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值. 解题方法： 第一步 求抛物线以及直线的解析式； 第二步 设点，表示出点的坐标（设点的横坐标为，则点的横坐标也为，再用含的代数式表示出这两点的纵坐标）； 第三步 表示线段的长度（将两点的纵坐标作差，即可得到关于的二次函数解析式）； 第四步 利用二次函数的性质求最大值. 【知识点3 斜（垂）线段的最值问题】 如图，为抛物线上一点，过点作于点，求的最大值（或点到直线的距离的最大值）. 解题方法： 如图，过点作轴于点，交直线于点.利用，得到（常数），把求的最大值转化为求的最大值. 【典型例题】 【例4】（2023春·广东·九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标． (3)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM长度的最大值． 【例5】（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ 【例6】（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C(0，4)，与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝　 　，A （　 　，　 　），B （　 　，　 　）； （2）过