4.2 指数函数（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

4．2指数函数（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． （2）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 【过程与方法目标】 （1）经历通过代数运算发现指数增长（衰减）变化规律进而抽象出指数函数概念的过程，知道指数函数是刻画现实世界中增长率（衰减率）不变的规律的数学模型． （2）能利用指数的定义和运算性质，借助计算工具画出具体指数函数的图象，通过指数函数图象和指数运算的方法得出指数函数的性质． 【情感态度价值观目标】 使学生感受学习指数函数图像与性质的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 学生已经学习了函数的概念和性质，并研究了幂函数，了解了研究一个函数的基本路径，具有了用高中所要求的函数“话语方式”进行表达的经验，这是学习本单元的基础．在幂函数及之前其他函数的学习过程中，变量之间关系的建立比较直接，指数函数部分加强了概念的形成过程，两地景区游客人次变化的规律需要学生运用代数学习中培养起来的一般观念来解决，即通过运算发现规律的意识和能力，而这一点无论在思想层面还是操作层面都比较薄弱，不仅学生，甚至教师也是如此，因此造成了学习难点． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：指数函数的概念、图象和性质，用函数图象和代数运算的方法研究函数． 教学难点：指数增长（衰减）规律的发现，用函数图象和指数运算的方法研究指数函数． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景1：上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数． 问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 【破解方法】观察图象和表格，可以发现，Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次）；Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 环节二、抽象概念，内涵辨析 问题2：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试． 【破解方法】从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 结果表明，Ｂ 地景区的游客人次的年增长率都约为1．11-1＝0．11，是一个常数 问题3：我们已经发现了地景区游客人次变化的规律，从上述对两地景区游客人次变化规律的发现过程可以看出：做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．对于增加量不变的现象，可以用一次函数刻画，对于增长率不变的现象，如果设经过年后游客人次为2001年的倍，那么关于的函数关系式是什么?请你写出这个问题中涉及的变量、常量，并写出它们之间的关系式． 【破解方法】从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的倍； 2年后，游客人次是2001年的倍； 3年后，游客人次是2001年的倍；年后，游客人次是2001年的倍； 如果设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么 问题4：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 【破解方法】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么死亡1年后，生物体内碳14含量为； 死亡2年后，生物体内碳14含量为； 死亡3年后，生物体内碳14含量为； （．．．．． 死亡5730年后，生物体内碳14含量为． 根据已知条件，，从而，所以年衰减率为． 设生物死亡年数为，刚死亡的生物体内碳14含量为1个单位，死亡生物体内碳14含量为，那么，即 【归纳新知】 指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围