4.1 指数（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

4．1指数（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）通过对有理数指数幂且，且、实数指数幂且R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程 （2）掌握指数幂的运算性质． 【过程与方法目标】 （1）能类比数系的扩充构建指数扩充的路径，即在整数指数幂的基础上，通过定义分数指数幂的意义，将指数扩充到有理数，在此基础上研究有理数指数幂的运算性质． （2）能将二次方根、三次方根推广到次方根，由次方根与数的运算，将根式转化为分数指数幂，知道等符号的意义以及它们之间的逻辑关系，以及0的分数指数幂的意义． （3）能说出有理数指数幂的运算性质，并能用有理数指数幂的定义和运算性质进行有理数指数幂的化简、求值． 【情感态度价值观目标】 类比无理数的认识过程，能想到用有理数指数幂逼近无理数指数幂，感受用一对有理数指数幂左右夹逼无理数指数幂的过程，知道无理数指数幂是一个确定的数，增加学生对数学学习的兴趣． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 学生在初中经历了从正整数指数幂到整数指数幂的推广过程，已经学习了整数指数幂及其运算性质，积累了一定的数系扩充经验，为本单元的学习奠定了一定基础．但学生往往把注意力集中在具体运算上，对数系扩充的原则、指数幂的含义和运算性质等缺乏必要的关注，而本单元的内容主要是“定规则”，着力点在指数幂的指数的范围扩充后的意义，不仅抽象而且逻辑性强，所以存在较大困难． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：指数幂的推广，指数幂的运算性质． 教学难点：建立指数生推广的整体架构；根式性质的理解；分数指数生的理解、有理数指数幂的运算性质及无理数指数生的意义． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……观察细胞分裂的过程，1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是什么？ 同学们观察细胞分裂的过程，得到细胞分裂次数与相应细胞个数的关系：． 问题1：在上面问题中只能取正整数，而对于式子，取负数整数或零也有意义，那么能否取分数呢？ 【破解方法】引发学生思考，讨论，指数能否进一步推广到分数指数幂，引出课题． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1． 次方根的概念 问题2：（1）16的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？（2）-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？（3）如果 ，，，参照上面的说法，这里的分别叫什么名称？ 【破解方法】让学生计算，类比平方根、立方根的概念，引导学生归纳得出4次方根、5次方根，为引入次方根的概念做铺垫． 【归纳新知】 次方根的定义： 若，则称为的次方根． 问题3：（1）一般地，当n为奇数时，实数的次方根存在吗？有几个？如关于的方程 ， 分别有解吗？（2）一般地，当为偶数时，实数的次方根存在吗？有几个？如关于的方程 ，分别有解吗？有几个解？ 【破解方法】引入次方根概念后，进一步让学生思考次方根的有解问题，引导学生用分类讨论的思想解决问题，为引入根式符号表示次方根做铺垫． 【归纳新知】 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 读法：的次方根；次根号下；开次方． 问题4：（1），；．观察思考，你能得到什么结论？ （2）；；．观察思考，你能得到什么结论？ 【破解方法】为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 问题5：表示的=一等成立吗？如果不成立，那么等于什么？ 【破解方法】（1）当且时，； （2） 2．分数指数幂 问题6：观察下列式子的变形： ， ，你能得出什么结论？ 【破解方法】让学生观察式子，思考回答，总结一般结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 【归纳总结】 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂也同样适用，如下： 3．无理数指数幂 问题7：我们将中指数的取值范围拓展到了有理数．那么，当指数是无理数时，的意义是什么?它是一个确定的数吗? 【破解方法】提出问题，引发学生思考和发言． 问题8：无理数既然存在，无理数幂也应该存在，是否存在的标准应该是在数轴上能否找到与其唯一对应的点？ 【破解方法】明确本研究的重点、难点，激发学生的探究欲望． 问题9：无理数是如何发现的？请设计一个方案在数轴上找到这个数的位置． 【破解方法】希帕索斯（Hippasus，公元前5世纪）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即）永远无法