2024届高考数学一轮复习 讲义 二项式定理

课题：二项式定理 知识点：二项式定理 1．二项式定理 ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；. 2．二项展开式的通项公式： 特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为． 【注1】①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把-b看成b代入二项式定理）．③项数为n＋1且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n． 常用赋值举例： 设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： 即：（a＋b）n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ．【偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和】 【注2】 1．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m （a，b∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法． 2．若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝． 【注3】 1．二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或． 2．二项展开式系数最大项的求法 如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得． 典型例题 例1．的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 例2．的展开式中的系数为_____． 例3若二项式的展开式中的系数是84，则实数（       ） A．2 B． C．1 D． 例4二项式的展开式中，含项的二项式系数为（       ） A．84 B．56 C．35 D．21 例5若，则（       ） A．-448 B．-112 C．112 D．448 例6在的展开式中，常数项为__________． 例7若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是___________． 例8 的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 例9在的展开式中常数项为（    ） A．14 B．－14 C．6 D．－6 例10 的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 例11 的展开式中，的系数为___________． 例12 的展开式中的系数是12，则实数a的值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 例13 已知的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（       ） A．8 B．6 C．4 D．2 例14 的展开式中，项的系数为（       ） A．400 B．480 C．720 D．800 例15若的展开式中的系数为35，则正数（       ） A． B．2 C． D．4 例16若，则________． 例17 若，则_______． 例18若，则______． 例19若多项式，则（ ） A．9 B．10 C．-9 D．-10 举一反三 1．的展开式中的系数为（       ） A．10 B．20 C．40 D．80 2．展开式中的常数项为（       ） A．480 B． C．240 D．260 3．若，则（       ） A． B． C． D． 4．的展开式中的系数为（    ） A． B． C．28 D．56 5．的展开式中的系数为（       ） A． B． C．120 D．200 6．的展开式中，的系数为（       ） A． B． C． D． 7．的展开式中，含项的系数为______． 8．的展开式中的系数是___________（用数字作答） 9． 的展开式中的常数项为 10．在的二项展开式中含项的系数为 11．设．若，则实数________． 12．设，则__________． 课后练习 1．在的展开式中，含项的系数为（       ） A．160 B．192 C．184 D．186 2．的常数项的二项式系数为（       ） A．375 B．-375 C．15 D．-15 3．二项式的展开式的常数项为第（ ）项 A．17 B．18 C．19 D．20 4．若，