3.1.1 椭圆及其标准方程导学案 — 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

班级： 学生考号： 姓名： 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 【教学目标】 1知识目标：掌握椭圆的定义，能用文字语言与符号语言描述椭圆的定义 2能力目标：能根据建立的坐标系推导椭圆标准方程，会求椭圆的标准方程， 能灵活应用椭圆的定义、标准方程解决焦点问题， 3思政目标：通过椭圆定义的应用，发展数学抽象及逻辑推理素养 【教学过程】 一、导学（学习8分钟+合作探究3分钟+展示3分钟） (一)工具性知识题 1.平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于FF)的点的轨迹叫做椭 圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半 称为半焦距 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 y2a2+x2b2= 标准方程 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 1(a>b>0) 焦点 -c,0),(c,0) (0,-c),(0,c a,b,c的关系 c2=a2-b2 c2=2-b2 温馨提示(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置， 就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴， (2)两种椭圆x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、 大小都相同，都有a心b>0,a2=b2+c2;不同点是：两种椭圆的位置不同，它们 的焦点坐标也不同。 (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 第1页，共5页 (二)能力训练题 题型一 椭圆的定义 例1已知点A(-L,0,B(1,0),动点P(x,y)满足PA+PB=2,则动点P的轨迹是() A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 (2)到0，一4)和(0,4)距离之和为8的点的轨迹为 题型二椭圆的标准方程 例2分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距为215，且经过点(0，-4)： (2)焦距为4，且经过点(5,0. 题型三椭圆定义的应用 例3(1)如图所示，已知过椭圆x225+y216=1的右焦点F2的直线AB交椭圆 于A,B两点，F1是椭圆的左焦点.若FA十FB=14,则弦AB的长为 (2)己知点P是椭圆y25+x24=1上的一点，F1,F2分别是椭圆的两个焦点，且 ∠FPF2=30°，则△FPF2的面积为 二、评学（14分钟) 三、拓展与提升(10分钟) 1.2<m<6”是“方程x2m一2+y26一m=1为椭圆”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第2页，共5页 2.已知椭圆x29十y25=1的右焦点为F,P是椭圆上一点，点A(0,23),则△APF 的周长的最大值为() A.6 B.8 C.12 D.14 3.F1是椭圆x29+y25=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1,1)为定点，则 PA+PF1的最小值是() A.9-2 B.6-2 C.3+2 D.6+2 四、悟学、课堂总结(2分钟) 1重要思想与方法：求椭圆标准方程的方法 2.易错易混点提醒：x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上 3.反思： 参考答案： 例1(I)【答案】C【解析】由题设知：PA+P8=4B=2, 此时动点P必在线段AB上，即动点轨迹为线段故选：C (2)因为动点到两定点距离的和为定值8，等于两定点间的距离，故为线段. 例2 【解析】(1)设椭圆的标准方程为立+云=1a>6>0)。 2c=215 a=4 a2=b2+c2 b=1 依题意得 ，解得(c=5 +x2=1 所以该椭圆的标准方程为16 x2.y2 (2)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为云+。=1a>b>0), + 第3页，共5页 依题意得c=2,a=5,则b2=a2-c2=5-4=1, x2 +y2=1 故椭圆的标准方程为5 y2,x2 当焦点在)轴上时，设椭圆的标准方程为+疗-1>b>0)。 依题意得c=2,b=5,则a2=b+c2=5+4=9, y2.x2 故椭圆的标准方程为9+5=) 例3答案(1)6(2)8-43 解析(1)由椭圆方程x225+y216=1可得a=5, 故由椭圆定义有AF1+AF=2a=10,BF十BF2=2a=10, 又AF+BF2=AB, 所以AB=(AF1+AF+BF1+ 1BF2)-(F4+FB)=20-14=6. (2)由椭圆方程y25十x24=1可得a=5, b=2,c=a2-b2=1. 在△PFF2中，由余弦定理，得FF22=PF12+PF22-2PF1 PF2cos∠FPF2=(IPF+PF2)2-2PFPF3-2 PFPF2cos30°， ∴.4=(25)2-(2+3)PFPF2, .PF1PF=16(2-3) .S△pp2=12PF-PF2sin30°=8-43. 1解析答案B 解析若方程x2m一2十y26一m=1表示椭圆， 则