第5章 5．5　三角函数模型的简单应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

5．5　三角函数模型的简单应用 [课标解读]　会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 知识点　建立三角函数模型的步骤 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．(　　) (2)在研究具体问题时，我们常常利用搜集到的数据．作出相应的“散点图”来获得相应的函数模型．(　　) (3)函数y＝|cos x|的图象是以2π为周期的波浪形曲线．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)× 2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　) C　[设所对的圆心角为α，α∈[0，2π]，圆的半径为R．由l＝αR，可知α＝，结合圆的几何性质，可知＝Rsin， ∴d＝2Rsin＝2Rsin． 又R＝1，∴d＝2sin，故结合正弦图象可知，选C．] 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] C　[由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z．当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C．] 4．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 ． t 0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 y －4．0 －2．8 0．0 2．8 4．0 2．8 0．0 －2．8 －4．0 解析：　设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4．0，得sin φ＝－1，取φ＝－， 故y＝4sin，即y＝－4cos t． 答案：　y＝－4cos t 探究点一　三角函数在物理学中的应用 已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)． (1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)为了使I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？ 解析：　(1)由题图知，A＝300． T＝－＝，∴ω＝＝100 π． ∵是该函数图象的一个零点， ∴－＝－． ∴φ＝＝，符合|φ|<， ∴I＝300sin(t≥0)． (2)问题等价于T≤，即≤， ∴ω≥200π．∴正整数ω的最小值为629． 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．　　 即时练1．如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sin，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为(　　) A．2 s B．1 s C． s D．s C　[由题意，知周期T＝＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为s．] 探究点二　三角函数在实际生活中的应用 据市场调查，某种商品一年内每月的单价(单位：万元)满足函数关系式f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)，其中x(1≤x≤12，x∈N＋)为月份．已知3月份该商品的单价首次达到最高，为9万元，7月份该商品的单价首次达到最低，为5万元． (1)求f(x)的解析式； (2)求此商品的单价超过8万元的月份． 解析：　(1)由题可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝＝． ∴∴ ∴f(x)＝2sin＋7． 又f(x)的图象过点(3，9)，∴2sin＋7＝9， ∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z． 又|φ|<，∴φ＝－， ∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)． (2)令2sin＋7>8， 得sin>， ∴＋2kπ<x－<＋2kπ，k∈Z， 解得＋8k<x<＋8k，k∈Z． ∵1≤x≤12，x∈N＋，∴x＝2，3，4，10，11，12． 故2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的单价超过8万元． 解三角函数应用问题的基本步骤 　　 即时练2．某大型企业一天中不同时刻的用电量y(单位：万千