第5章 5.2.1　任意角三角函数的定义-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

5．2　任意角的三角函数 5．2．1　任意角三角函数的定义 [课标解读]　1．借助单位圆理解任意角的三角函数定义．2．能利用定义解决相关问题． 知识点一　用比值定义三角函数 1．三角函数的定义 如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)定义：sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中r＝． 以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切． 依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的比值和与之对应；当α≠＋kπ(k∈Z)时，它有唯一确定的比值与之对应，因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数．y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数，余弦函数，正切函数．以上三种函数统称为三角函数． 2．三角函数的定义域 三角函数 定义域 y＝sin α R y＝cos α R y＝tan α [点拨]　(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集． (2)要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的． 知识点二　用有向线段表示三角函数 1．三角函数线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T．单位圆中的有向线段DP、OD、AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝DP，cos α＝OD，tan α＝AT．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线． 2．三角函数值的符号 如图所示： 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．(　　) (2)若sin α>0，则α是第一或第二象限的角．(　　) (3)若角α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上异于原点的一点，则cos α＝ ．(　　) (4)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝，则x等于(　　) A． B．± C．－ D．－ D　[由三角函数的定义，得cos α＝＝ ．因为点P(x，)在第二象限内，所以x<0，所以x＝－．] 3．角α的终边经过点P(－b，4)且cos α＝－，则b的值为(　　) A．3 B．－3 C．±3 D．5 A　[r＝，cos α＝＝＝－，所以b>0且b＝3．] 4．集合A＝[0，2π]，B＝{α|sin α<cos α}，则A∩B＝ ． 解析：　根据正弦线，余弦线的定义可得如下图象． 由sin α<cos α可得， B＝∪． ∴A∩B＝∪． 答案：　∪ 探究点一　三角函数的定义及应用 (1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a，4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：　(1)∵角α，β的终边与单位圆分别交于点和， 故由定义知sin α＝，cos β＝－， ∴sin αcos β＝×＝－． (2)∵点P在单位圆上，则|OP|＝1． 即＝1，解得a＝±． ∵a<0，∴a＝－． ∴P点的坐标为． ∴sin α＝－，cos α＝． ∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝． 答案：　(1)B　(2)A 利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况： (1)若已知角α终边上一点P(x，y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上的点，则首先求r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解．　　 即时练1．(2021·全国高一单元测试)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点P(－1，3)在角α的终边上，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． D　[直接利用三角函数的定义，求出正余弦值，代入求解即可． 由题意得sin α＝，cos α＝－，所以＝＝．故选D．] 探究点二　三角函数的定义域 求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝＋． 解析：　(1)要使函数有意义，须tan x≠0， 所以x≠kπ＋，k