第4章　幂函数、指数函数和对数函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

4．1　实数指数幂和幂函数 4．1．1　有理数指数幂 4．1．2　无理数指数幂 [课标解读]　1．理解n次方根及根式的概念．能正确运用根式运算性质进行运算．2．理解分数指数幂的含义；掌握根式与分数指数幂的互化．3．掌握有理数指数幂及无理数指数幂的运算性质． 知识点一　n次方根 1．定义：若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根． 2．性质： (1)当n是奇数时，数a的n次方根记作． (2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作． 规定：＝0，负数没有偶次方根． [点拨]　在根式符号中，注意以下几点： (1)n>1，n∈N＋． (2)当n为奇数时，对任意a∈R都有意义． (3)当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义． 知识点二　根式 1．定义：式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数． 2．性质：(n>1，且n∈N＋) (1)()n＝a． (2)＝ [点拨]　与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a．当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a． 知识点三　分数指数幂 分数指数幂 正分数 指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N＋且n>1) 负分数 指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N＋且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0，0没有负分数指数幂 [点拨]　(1)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数． (2)把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． 知识点四　有理数指数幂 1．运算 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 2．有理数指数幂的基本不等式 (1)对任意的正数a＞1和两有理数r＞s，有＝ar－s＞1，即ar＞as． (2)对任意的正数a＜1和两有理数r＞s，有＝ar－s＜1，即ar＜as． 知识点五　无理数指数幂 1．定义：在幂的表达式aμ中，a叫作底数，μ叫作指数． 2．幂运算基本不等式 (1)对任意的正数μ和正数a，若a＞1，则aμ＞1；若a＜1则aμ＜1． (2)对任意的负数μ和正数a，若a＞1，则aμ＜1；若a＜1则aμ＞1． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)的运算结果是±2．(　　) (2)当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义．(　　) (3)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　) (4)0的任何指数幂都等于0．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．给出下列各式： ① ＝2；②(a2－3a＋3)0＝1；③＝．其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[对于①，＝－2，故①错误．对于②，因为a2－3a＋3＝＋＞0恒成立，所以等式成立，故②正确．对于③，偶次根式下被开方数不能是负数，无意义，故③错误．故选B．] 3．＋ ＋ 的值为(　　) A．－6 B．2－2 C．2 D．6 A　[＝－6，＝|－4|＝4－，＝－4， 所以原式＝－6＋4－＋－4＝－6．] 4．已知a＋a－1＝34，则a＋a－＝ ． 解析：　(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝34＋2＝36． 所以a＋a－＝＝6． 答案：　6 探究点一　对n次方根概念的理解 有下列说法： ①＝3；②16的4次方根是±2；③＝±3；④ ＝|x＋y|． 其中正确的有 (填序号)． 解析：　负数的3次方根是一个负数，＝－3，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；＝3，故③错误；是非负数，所以＝|x＋y|，故④正确． 答案：　②④ 判断关于n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　　 即时练1．若＝，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． C　[＝|3a－1|, ＝1－3a，因为|3a－1|＝1－3a，故3a－1≤0，所以a≤．] 探究点二　利用根式的性质化简与求值 (1)化简下列各式： ① ＋； ② ＋＋． (2)当有意义时，化简－． 解析：　(1)①因为＝|3－π|＝π－3，＝－π－3． 所以原式＝π－3－π－3＝－6． ②原式＝|－5|＋＋＝5＋2－3＝4． (2)因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2， 所以原式＝－＝(2－x)－(