第3章　函数的概念与性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

3．1　函数 3．1．1　对函数概念的再认识 [课标解读]　1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．3．了解构成函数的要素．4．能求简单函数的定义域． 知识点一　函数的概念 函数的定义 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么就称f：A→B为定义于A取值于B的函数 函数的记法 y＝f(x)(x∈A，y∈B) 定义域 x称为自变量，x的取值范围A称为函数的定义域 值域 与x∈A对应的数y称为函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域 [点拨]　对函数概念的3点说明 (1)当A，B为非空数集时，符号f：A→B表示从集合A到集合B的一个函数． (2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性． (3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样． 知识点二　同一个函数 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等． [点拨]　自变量和因变量用什么字母表示与函数无关，不影响两个函数的关系．两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的．只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说： (1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应关系不同，两个函数也是不同的． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．(　　) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　) (3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y．(　　) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．{x|x<4} B．{x|x≤4} C．{x|x>4} D．{x|x≥4} A　[由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．] 3．若函数f(x)＝，则f(3)＝(　　) A．2 B．4 C．2 D．10 A　[∵f(x)＝，∴f(3)＝＝2．] 4．下图中能表示函数关系的是 (填序号)． 解析：　由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数． 答案：　①②④ 探究点一　函数概念的理解 (1)在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0． A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ (2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：　(1)①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．故选D． (2)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B． 答案：　(1)D　(2)B 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l． (2)在定义域内平行移动直线l． (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．　　 即时练1