第2章　一元二次函数、方程和不等式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

2．1　相等关系与不等关系 2．1．1　等式与不等式 [课标解读]　1．梳理等式的性质．2．掌握不等式的性质． 知识点一　实数比较大小的基本事实 1．基本事实 如果a－b>0，那么a>b；如果a－b＝0，那么a＝b； 如果a－b<0，那么a<b，反过来也成立． 2．这个基本事实可以表示为 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． 知识点二　不等式的性质 — 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a<b⇔b>a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 推论1 移项法则 a＋b>c⇔a>c－b 可逆 推论2 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 性质4 可乘性 ⇒ac>bc；⇒ac<bc c的符号 推论3 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 同正 推论4 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N＋) 同正 性质5 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N＋) 同正 性质6 倒数法则 ⇒< 同号 ⇒> 异号 [点拨]　对不等式性质的几点说明 (1)推论1(即移项的法则)，即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等式的另一边． (2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． (3)推论2(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”． (4)推论3和推论4(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>b，则a－c>b－c．(　　) (2)>1⇒a>b．(　　) (3)同向不等式相加和相乘的条件是一致的．(　　) (4)⇔a＋c>b＋d．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A．> B．< C．> D．< B　[因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以>>0． 又a>b>0，所以>，所以<．] 3．设实数x，y满足3<x<4，1<y<2，则M＝2x－y的取值范围是(　　) A．4<M<6 B．4<M<7 C．5<M<6 D．5<M<7 B　[由已知得6<2x<8，－2<－y<－1， 故4<2x－y<7．故选B．] 4．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为 ． 解析：　∵m3－(m2－m＋1) ＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1) ＝(m－1)(m2＋1)． 又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0． ∴m3－(m2－m＋1)>0， 即m3>m2－m＋1． 答案：　m3>m2－m＋1 探究点一　代数式的大小比较 (1)比较3x3与3x2－x＋1的大小； (2)已知a>0，试比较a与的大小． 解析：　(1)因为3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．当x<1时，有x－1<0，而3x2＋1>0，所以(3x2＋1)(x－1)<0，所以3x3<3x2－x＋1；当x＝1时，(3x2＋1)(x－1)＝0，所以3x3＝3x2－x＋1；当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0，所以3x3>3x2－x＋1． 综上，当x<1时，3x3≤3x2－x＋1；当x＝1时，3x3＝3x2－x＋1；当x>1时，3x3>3x2－x＋1． (2)∵a－＝＝， 又∵a>0，∴当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<． 综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；当0<a<1时，a<． 作差法比较大小的步骤 [注意]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 即时练1．(2021·甘肃省张掖市第一学期期末)若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是(　　 ) A．a>b B．a<b C．a≥b D．a，b大小不确定 B　[因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0． 所以a<b．故选B．] 探究点二　不等式的性质 (1)已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．a>b⇒ac2>bc2 B．>⇒a>b C．⇒> D．⇒> (2)若c>a>b>0，求证：>． 解析：　(1)当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab<0时，a>b⇒<，即>，C成立；同理可证D不成立． (2)证明：因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b．