3.3.2抛物线的简单几何性质课件（2）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质(2) 1 复习引入 2.直线与抛物线的位置关系 相交、相切和相离． 相切 1个公共点 x O y x O y x O y x O y 相离 0个公共点 相交 2个公共点 相交 1个公共点 复习引入 新知探究 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 焦半径公式： 1.焦半径 x l F M y O (x0,y0) 过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦. 焦点弦公式： 2.焦点弦 x l F A y O B (x1,y1) (x2,y2) 与韦达定理或弦中点坐标有关 抛物线的简单几何性质 若AB中点为P(x0,y0) A B y2=2px 2p 过焦点且垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径. |AB|=2p 2p越大，抛物线张口越大 3.通径 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. x l F y O 抛物线的简单几何性质 新知探究 抛物线的简单几何性质 例1 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长. 典型例题 例1 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长. 弦长公式 直线y=kx+m与抛物线相交于A、B两点，则|AB|= 抛物线y2=2px 两点，则|AB|=|x1+x2+p|; 抛物线x2=2py 两点，则|AB|=|y1+y2+p|. 归纳总结 特别地:当焦点弦垂直于轴时,抛物线的焦点弦长(即通径) 直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点 练习1 如图，O为坐标原点，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x与M(x1,y1)，N(x2,y2)两点.(1)求x1x2的值；(2)求证：OM⊥ON. P(2,0) O N M l x y (2)证明: ， 所以 又∵y1y2<0，∴y1y2=-4 则 ，所以OM⊥ON (1)解:直线l的方程为y=k(x-2) (k≠0)， 直线与抛物线联立消去y，可得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0 其中Δ=4(2k2+1)2-4·k2·4k2=16k2+4>0, 由韦达定理得 x1x2= = 4. F O B A l x y 例2 经过抛物线焦点的直线交抛物线于，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴. 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． A B F K x y A B F K x y A B F K x y 归纳总结 练习3 经过抛物线()焦点的直线交抛物线于 两点，经过点作垂直准线于点，求证： 三点共线. 设点 (,)(≠0)，则(,) (≠0). 证明：如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线 的顶点为原点，建立平面直角坐标系. 当 ≠ 时，直线的方程为 . 所以= (,) (≠0). 当= 时，易知结论成立. 将代入，得= 所以= (,). 所以 ，即= ， 因为×() × = =0 所以∥ ，因此 三点共线. 得. 1、以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB， |OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. 所以M(3,0). 故设A(3，m)，代入y2＝8x得：m2＝24， 巩固练习 解　如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴， 垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心， 因为F(2,0)， 2、已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. 解　如图，设点A(x0，y0)， 由题意可知点B(x0，－y0)， ∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1， 已知抛物线过焦点的直线交抛物线于,两点,则弦长称为焦点弦,其表达式为: (1)焦半径： (2) (强调:通径为焦点弦的最小值,是斜率不存在时的焦点弦长) 课堂小结 谢谢观看 22 x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) y轴 x轴 (0,0) 1 1、抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 顶点 离心率 e＝ x＝－eq \f(p,2) 设直线y＝kx