1.4 二次函数的应用 研学稿 2023-2024学年浙教版九年级数学上册

1.4(第1课时) 利用二次函数解决面积最大问题 一、预学（自学互学） 用二次函数求实际问题中的最大值或最小值 方法：运用二次函数求实际问题的最大值或最小值，首先应当求出_____________和__________的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值． 二、研学（交流展示、释疑点拨） 类型　用二次函数解决“最大面积”问题 例1　如图所示，在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地．已知砖墙在地面上占地总长度160 m，问：分隔墙在地面上的长度x为多少时，所围场地总面积最大？并求这个最大面积． 变式跟进1　如图所示，学校要在教学楼后面的空地上用40 m长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x m，面积为y m2. (1)求y与x的函数表达式，并求自变量x的取值范围； (2)生物园的面积能否达到210 m2？说明理由． 例2　学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100 m，宽为80 m，图案设计如图1－4－3所示．广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖． (1)要使铺设白色地面砖的面积为5 200 m2，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？ (2)如果铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？ 变式跟进2　如图所示，某广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200 m，120 m，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3x m，2x m. (1)用代数式表示三条通道的总面积S；当通道总面积为花坛总面积的时，求横、纵通道的宽分别是多少； (2)如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3 168x元，那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低总造价． (以下数据可供参考：852＝7 225，862＝7 396，872＝7 569) 三、促学（巩固提升、总结反馈） 1．用长40 m的篱笆围成一个矩形菜园，则围成的菜园的最大面积为 2．小李想用篱笆围成一个周长为60 m的矩形场地，设矩形面积为S m2，一边长为x m.(1)S与x之间的函数关系式．自变量x的取值范围； (2)当x为何时，矩形场地面积S最大，最大面积为多少m2. 1.4(第2课时) 利用二次函数解决距离和利润问题 一、预学（自学互学） 综合运用二次函数和其他数学知识解决与距离、利润等有关的函数最值问题． “距离”问题：要构造直角三角形，利用勾股定理，建立S＝型的函数关系式(这不是二次函数)，但问题的本质是求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大(小)值． “最大利润”问题：一般是先运用“总利润＝________________”或“总利润＝________________×销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数表达式，求出这个函数表达式的顶点坐标(符合实际情况)，即求得最大利润． 二、研学（交流展示、释疑点拨） 类型一　利用二次函数解决有关“距离”问题 例1　如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始，沿着AB向点B以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，设P，Q同时出发，问：(1)经过几秒P，Q的距离最短？ (2)经过几秒△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 变式跟进1　甲船和乙船分别从A港和C港同时出发，各沿所指方向航行(如图1－4－7所示)，甲、乙两船的速度分别是16海里/小时和12海里/小时，已知AC两港之间的距离为10海里．问经过多长时间，甲船和乙船之间距离最短？最短距离为多少？(注：题中的“距离”都指直线距离，图中AC⊥BC) 类型二　利用二次函数解决“利润最大”问题 例2　商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 变式跟进2　某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间每天的房价增加x元(x为10的整数倍)． (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数表达式；