第八章 8．1．2　用二分法求方程的近似解-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

8．1.2　用二分法求方程的近似解 ► 对应学生用书P171 [课程标准]　结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 记一记：(1)二分法的本质是利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值． (2)只有函数的变号零点才能利用二分法求解．如图①中的零点能利用二分法求解，而图②中的零点则不能利用二分法求解． 　　　 【基点小试】 1．下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　) 解析：选B.由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近似值． 2．用二分法求方程的近似解，求得函数f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如下：f(1)＝－6，f(2)＝3，f(1.5)＝－2.625，f(1.75)＝－0.640 6，则方程x3＋2x－9＝0的一个近似根x所在区间为(　　) A．(－0.640 6，0) B．(1.75，2) C．(1.5，1.75) D．(1，1.5) 解析：选B.由题意，知f(1)·f(2)<0，f(1.5)·f(2)<0，f(1.75)·f(2)<0， 所以函数的零点在区间(1.75，2)内，即方程x3＋2x－9＝0的一个近似根x所在区间为(1.75，2). 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　二分法的概念 例1.(1)用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 解析：选C.由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解， 但x3∈(a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点． (2)下列函数一定能用“二分法”求其零点的是(　　) A．y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0) B．y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0) C．y＝2x D．y＝(k≠0，k为常数) 解析：选A.由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故C，D不能用“二分法”求其零点，故CD错误； 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)，当Δ＝b2－4ac≤0时，不能用二分法，故B错误； 由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零点，故A选项正确． [总结] 　二分法的理解 (1)准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． (2)“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点． 【练一练】 1．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　) A．f(x)＝x3－2 B．f(x)＝ln x－3 C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1 解析：选C.∵f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0.故选C. 题型二　用二分法求方程的近似解，函数的零点 例2.用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1). 解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算， f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0， 所以函数f(x)在(0，1)内存在零点， 即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解． 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0， 又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表： (a，b) 中点c f(a) f(b) f (0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5，0．75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625，0．75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0 由于|0.687 5