专题07 三角函数值的相关计算与应用（11大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题07 三角函数值的相关计算与应用（11大题型） 【题型目录】 题型一 求特殊角的三角函数值 题型二 特殊角三角函数值的混合运算 题型三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型四 由计算器求锐角三角函数值 题型五 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型六 已知角度比较三角函数值的大小 题型七 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型八 利用同角三角函数关系求值 题型九 求证同角三角函数关系式 题型十 互余两角三角函数的关系 题型十一 三角函数综合 【知识梳理】 知识点1：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【经典例题一 求特殊角的三角函数值】 1．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，D为边上一点，且，，，，于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）计算： ． 4．（2023春·九年级单元测试）在中，若，则的度数是 5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）先化简，再求值：，其中． 【经典例题二 特殊角三角函数值的混合运算】 1．（2023春·天津·九年级专题练习）下列计算错误的个数是（    ） ①；；③； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）关于三角函数有如下公式： ， ， （其中：） 例如：．利用上述公式计算下列三角函数：①，②，③，④ 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）计算：= ． 4．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ． 5．（2023秋·山东聊城·九年级聊城东昌中学校考阶段练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 1．（2019秋·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（2023春·天津和平·九年级专题练习）中，、都是锐角，且，，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 3．（2022春·全国·九年级专题练习）若，则以为内角的的形状是 ． 4．（2023春·全国·九年级专题练习）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 5．（2021秋·上海·八年级期末）如图，在中，，，，求：的面积和的度数． 【经典例题四 由计算器求锐角三角函数值】 1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 2 yx 3 － 16 ＝，按键的结果为m； 2ndF 6 4 － 2 x2 ＝，按键的结果为n； 9 ab/c  2  －  cos  60 ＝，按键的结果为k． 下列判断正确的是（    ） A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k 2．（2021春·九年级课时练习）运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： 则计算器显示的结果是 ． 3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 根据特殊角三角函数值求角的度数】 1．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）在中，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·天津河西·统考一模）如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，且点M在上，将纸片展平，连接并延长交于点Q，连接．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河北石家庄·校联考二模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点E，连接，交于点F，若，． （1） ； （2）的长为 ．    4．（2023·河北张家口·统考