第五章 函数应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第五章 函数应用 §1　方程解的存在性及方程的近似解　► 对应学生用书P98 1．1　利用函数性质判定方程解的存在性 [课程标准]　1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．　2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、函数零点的概念 (1)概念：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点． (2)方程、函数、图象之间的关系：函数y＝f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是方程f(x)＝0的解． 想一想：函数的“零点”是一个点吗？ 提示：函数的零点不是一个点，而是一个数，一个使f(x)＝0的实数x． 二、零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 这里说“在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个解”，只说明了方程f(x)＝0解的存在，并不能判断具体有多少个解． 记一记：1．零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． 2．如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 【基点小试】 1．函数f(x)＝log2(2x－1)的零点是(　　) A．1 B．2 C．(1，0) D．(2，1) 解析：选A．由f(x)＝0得2x－1＝1，即x＝1． 2．(多选)函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点可以是(　　) A．－ B． C．－1 D．1 解析：选BD．方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝． 3．函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 解析：选D．因为f(2)＝8－6－3＝－1<0，f(3)＝27－9－3＝15>0，所以f(2)f(3)< 0，所以D正确． 4．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为________． 解析：f(x)＝－2x＋m的零点为4，所以－2×4＋m＝0，m＝8． 答案：8 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　求函数的零点 例1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x． 解：(1)令＝0，解得x＝－3． 所以函数f(x)＝的零点是－3． (2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解． 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x＝log23， 所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23． (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3． [总结]　求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0． 【练一练】 1．求下列函数的零点： (1)f(x)＝ (2)f(x)＝(lg x)2－lg x． 解：(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2． 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2． (2)令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10， ∴函数f(x)的零点是1，10． 题型二　判断函数零点所在区间 例2． (1) 若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D