重难点01 利用基本不等式求最值（满分技巧+6种热点题型+限时检测）-【提分笔记】2023-2024学年高一数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019必修第一册）

重难点01 利用基本不等式求最值 基本不等式是是高中数学中一个重要的知识点，是常考常新的内容，在解决数学问题中有着广泛的应用。常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。 利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 【题型1 直接法求最值】 【例1】（2022秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）若，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．6 【变式1-1】（2023秋·新疆喀什·高一统考期中）已知，，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋·天津·高一校考阶段练习）已知，若，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-3】（2023秋·广东阳江·高一统考期中）已知，则的最大值为 ． 【变式1-4】（2023秋·山西太原·高一校考阶段练习）已知，，且满足，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2 配凑法求最值】 【例2】（2023秋·山东青岛·高一校考阶段练习）设实数满足，则函数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·甘肃·高一校考阶段练习）已知，则的最大值是 ． 【变式2-2】（2023秋·四川广安·高一校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【变式2-3】（2023·江苏·高一专题练习）若，则的最大值是 . 【变式2-4】（2023秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知，则的最小值为.（ ） A． B． C． D． 【题型3 消元法求最值】 【例3】（2023秋·辽宁·高一校联考阶段练习）已知且，则的最小值为 ． 【变式3-1】（2023秋·广西河池·高一校联考阶段练习）设，则的最小值为（ ） A．5 B． C． D．6 【变式3-2】（2023秋·江苏无锡·高一校考阶段练习）若，且，的最小值为（ ） A．15 B． C．17 D． 【变式3-3】（2023秋·浙江台州·高一校考阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值是（ ） A．33 B．26 C．25 D．21 【变式3-4】（2023秋·福建莆田·高一校考阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【题型4 代换法求最值】 【例4】（2023秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）设正数满足，求的最小值． 【变式4-1】（2023秋·广东珠海·高一校考阶段练习）设,且,则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023秋·安徽宿州·高一校考阶段练习）若，且，则的最小值为 . 【变式4-3】（2023秋·江西景德镇·高一校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【变式4-4】（2023秋·湖北·高一校联考阶段练习）若，且，则的最小值为（ ） A．3 B． C． D． 【题型5 构造不等式求最值】 【例5】（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为（ ） A．1 B．5 C．25 D．12 【变式5-1】（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）设x，，若，则的最大值为 ． 【变式5-2】（2023秋·山东聊城·高一校考阶段练习）已知