第一章 专项1 利用勾股定理解决折叠问题-【勤径学升】2023-2024学年八年级上册数学同步练测配套PPT课件（北师大版）

八年级数学 北师版（上册） 第一章　勾股定理 专项1　利用勾股定理解决折叠问题 B C B 三角形中的折叠问题　　 如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD上的点E处，已知BC＝8，BE＝2，则AB2－AC2的值是(　　) A．10 B．16 C．6 D．4 [解析]将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD上的点E处，则AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，所以AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2－AC2＝AD2＋BD2－AD2－CD2＝BD2－CD2＝(BD＋CD)(BD－CD)＝BC·BE.因为BC＝8，BE＝2，所以AB2－AC2＝8×2＝16. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M，N分别在BC，AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，求折痕MN的长． 解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D， 因为AB＝AC＝5，BC＝6， 所以BD＝CD＝3，所以AD＝4. 因为将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合， 所以AM＝CM，AN＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(5,2) ，MN⊥AC. 设AM＝CM＝x，则MD＝x－3， 在Rt△ADM中，由勾股定理得，AD2＋MD2＝AM2， 即42＋(x－3)2＝x2，解得x＝ eq \f(25,6) . 在Rt△AMN中，由勾股定理，得 MN2＝AM2－AN2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,6))) eq \s\up12(2) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(100,9) ， 所以MN＝ eq \f(10,3) . 长方形中的折叠问题　　 (辽宁沈阳大东区期中)如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE的长为(　　) A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm [解析]设DE＝x cm，则BE＝DE＝x cm；AE＝AB－BE＝(10－x)cm.在Rt△ADE中，DE2＝AE2＋AD2，即x2＝(10－x)2＋16，解得x＝5.8.故选C. 如图，在长方形ABCD中，AB＝12，BC＝16，将长方形ABCD沿直线AE折叠，使点B落在长方形ABCD内部的点F处，则CF的最小值是(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 [解析]连接AC.由题意，得AF＝AB＝12.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝202，所以AC＝20.当A，F，C三点不共线时，CF>AC－AF，当A，F，C三点共线时，CF＝AC－AF＝20－12＝8.所以CF的最小值是8. 如图，在长方形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm，把将长方形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，则AF的长为________. eq \f(25,4) [解析]因为四边形ABCD是长方形，所以BC＝AD＝6 cm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝10 cm.由折叠的性质，得AE＝AB＝8 cm，EC＝BC＝6 cm， ∠E＝∠B＝90°，在△ADF和△CEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CE，, ∠D＝∠E，,∠DFA＝∠EFC，)) 所以△ADF≌△CEF，所以DF＝EF.设AF＝x cm，则DF＝EF＝(8－x)cm.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AD2＋DF2＝AF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝ eq \f(25,4) .故AF的长为 eq \f(25,4) cm. 如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，使点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F.已知OP＝OF，求BF的长． 解：由折叠的性质，知DE＝DC＝4. PE＝CP，∠E＝∠C＝90°， 在△FOE和△POB中， 因为∠E＝∠B＝90°，∠FOE＝∠POB，OF＝OP. 所以△FOE≌△POB，所以OE＝OB，EF＝BP， 所以OF＋OB＝OP＋OE.所以BF＝PE＝PC. 设BF＝PE＝PC＝x，则AF＝4－x，EF＝BP＝3－x.所以DF＝DE－EF＝4－(3－x)＝x＋1. 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AD2＋AF2＝DF2， 即32＋(4－x)2＝(x＋1)2， 解得x＝ eq \f(12,5) ，即BF＝ eq \f(12,5) . 解得x＝ eq \f(12,5) ，即BF＝ eq \f(12,5) . 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边A