易错疑难集训四-【勤径学升】2023-2024学年八年级上册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

没有明确斜边与直角边导致漏解　 已知直角三角形中两边的长分别为6和8，求第三边的长． 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12.求△ABC的周长． 由于图形形状或位置不定导致漏解　 (通辽中考)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为________. (通辽中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上(不与点A、B重合)，且∠PCB＝30°，则AP的长为________. 运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时易受思维定式的影响而出错　　 判断以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形，其中a＝，b＝1，c＝. 与勾股定理有关的规律探究　　 [传统文化]我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数，观察下面两个表格并解答下列问题．(以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a<b<c) (1)表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是________，a、b、c之间除满足a2＋b2＝c2外还满足的数量关系是________； (2)表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是________，a、b、c之间除满足a2＋b2＝c2外还满足的数量关系是________； (3)我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的三边长“6，8，10”成倍数关系；表一中的三边长“5，12，13”与表二中的三边长“10，24，26”恰好也成倍数关系……请你直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a＝，b＝时，斜边c的长为________. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错疑难集训四 1．解：当第三边为斜边时，6和8分别是两直角边的长，由勾股定理，得第三边的长为＝10.当第三边为直角边时，斜边长为8，由勾股定理，得第三边的长为＝2.∴第三边的长为10或2. 在直角三角形中，已知两边求第三边，且没有说明哪条边是斜边时，应分两种情况讨论：①已知两边为直角边；②两边中的较长边为斜边． 2．解：分两种情况求解： 当△ABC为锐角三角形时，如答图①. 由题意可得△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝15＋13＋14＝42. 当△ABC为钝角三角形时，如答图②. 在Rt△ACD和Rt△ABD中， 由勾股定理，得 CD＝＝＝5. BD＝＝＝9. ∴BC＝BD－CD＝9－5＝4. ∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝15＋13＋4＝32. 综上所述，△ABC的周长为42或32. 本题易只考虑到三角形是锐角三角形的情形，忽略了三角形是钝角三角形的情形，因此导致漏解． 3．6或2或4 [解析]分以下三种情况进行讨论： (1)如答图①，当AB＝AC＝5，AD＝4时，BD＝CD＝＝3. ∴BC＝6，即此时底边长为6. (2)如答图②，当AB＝AC＝5，CD＝4时，AD＝＝3， ∴BD＝2. ∴BC＝＝2，即此时底边长为2. (3)如答图③，当AB＝AC＝5，CD＝4时，AD＝3， ∴BD＝8. ∴BC＝＝4，即此时底边长为4. 综上，腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为6或2或4. 本题有两个易错点，一是没有说明“高为4”是指腰上的高还是底边上的高；二是等腰三角形的顶角可以是锐角也可以是钝角，从而高可以在三角形内，也可以在三角形外． 4.，9或3 5．解：∵a2＝()2＝6，b2＝1，c2＝()2＝5， ∴b2＋c2＝a2. ∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形(其中a为斜边长). 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，我们不能简单地看两边a、b的平方和是否等于边c的平方，而应先比较a、b、c的大小，找出最大边长，再分别计算出三边长的平方，最后看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 6．解：(1)c＝b＋1　a2＝b＋c (2)c＝b＋2　a2＝2(b＋c) (3)1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$