4.2.2指数函数的图象和性质（1）导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.2 指数函数的图象和性质(1) 【知识点】指数函数的图象和性质 1．怎样快速画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象？ 提示：由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，(－1，)，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． 2.观察同一直角坐标系中函数y＝2x，y＝3x，y＝4x，y＝()x，y＝()x，y＝()x的图象如图所示，能得到什么规律？ 提示：(1)当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快． (2)当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快． (3)底数互为倒数时，图象关于y轴对称，即y＝ax与y＝x图象关于y轴对称． 【类型一】与指数函数有关的定义域与值域 【例1】求下列函数的定义域和值域： 求指数型复合函数的定义域和值域的一般方法 1．求指数型复合函数的定义域时，先观察函数是y＝f(ax)型还是y＝af(x)型． (1)由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同． (2)对于函数y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(t)的定义域中． (3)求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)． 2．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，还需注意：①在求形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数值域时，先求得f(x)的值域(即函数t＝f(x)中t的范围)，再根据y＝at的单调性，即可求出y＝af(x)的值域；②求y＝f(ax)型函数的值域时，先求出t＝ax的值域，再求y＝f(t)的值域． 【变式训练1】(1)已知函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为_____； (2)函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为__________. 【类型二】指数函数的图象 命题视角1：指数函数的底与其图象的关系 【例2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c 【变式训练2】已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　 　) 命题视角2：图象的识别问题 【例3】已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) 识别指数函数的图象问题，应把握三点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1. (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大，在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小． (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数函数的图象与两坐标轴的交点位置． 【变式训练3】函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　 　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 命题视角3：图象过定点问题 【例4】函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________． 【例5】已知函数y＝|x＋1|. (1)试利用指数函数的图象作出该函数的图象； (2)由图象指出该函数的单调区间； (3)由图象指出当x取何值时，函数有最值． 【变式训练5】函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　D　) 【类型三】指数函数图象的综合应用 【例6】若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，a≠1)的图象有两个不同的交点，求a的取值范围． 【变式训练6】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是[－1,1]． 【课堂作业】 1．若函数g(x)＝4x＋m的图象不过第二象限，则实数m的取值范围是(　 　) A．(－∞，－1] B．(－∞，－1) C．(－∞，－4] D．(－∞，－4) 2．函数f(x)＝3x－3(1<x≤5)的值域是(　 　) A．(0，＋∞) B．(0,9) C. D. 3．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)上的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是(　 　) 4．函数y＝3x－4＋b的图象恒过定点(4,6)，则b＝_______. 5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1. (1)求a的值． (2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域． 答案解析 【例1】[解]　(1)由1－2x≥0得2x≤1，∴x≤0，∴y＝的定义