5.2 三角函数的定义（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

5.2 三角函数的定义（精讲） 一．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 二．三角函数值在各象限的符号 1.口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). 2.根据三角函数的定义可知： (1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； (2)余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； (3)正切函数值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负.　　　 三.诱导公式一 (1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等. (2)式子表示： 四.同角三角函数的基本关系 描述方式 基本关系　　　 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 Tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 2.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1⇒ (2)tan α＝⇒ 一．三角函数的定义 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．　　 二．三角函数式的化简 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 三．已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 (1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入. (2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值. (3)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值. 四．已知 sin α±cos α，sin αcos α求值问题 一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有： (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； (4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出. 五．证明三角恒等式常用的方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子； (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等； (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”. 六．含有条件的三角恒等式证明的常用方法 (1)直推法：从条件直推到结论； (2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明； (3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明. 考点一 坐标法求三角函数值 【例1-1】（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一海拉尔第一中学校考期末）已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（2023秋·高一课时练习）已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023春·河北张家口