5.1 任意角与弧度制（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

5.1 任意角与弧度制（精讲） 一．任意角 1．角的定义及分类 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O. (3)角的分类 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 二．象限角与终边相同的角 1. 象限角与终边相同的角 象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 k有三层含义 ①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角． ②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)． ③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动． 2．象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 3．轴线角的集合表示 角α终边的位置 角α的集合表示 在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 三．度量角的两种单位制 1.定义 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad 2.弧度数 (1)正角：正角的弧度数是一个正数. (2)负角：负角的弧度数是一个负数. (3)零角：零角的弧度数是0. (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. 3.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2πrad 2π rad＝360° 180°＝πrad π rad＝180° 1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 四.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 一．表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α<x<β}，其中β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合. 二.已知α所在象限，确定nα或所在象限 (1)用不等式表示α的范围，再确定nα或的范围，再判断角所在象限； (2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限. 三．角度与弧度互化 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．　 角度与弧度互化的方法 考点一 与任意角有关的概念辨析 【例1-1】（2023秋·高一课时练习）（多选）下列选项不正确的是（    ） A．终边落在第一象限的角为锐角 B．锐角是第一象限的角 C．第二象限的角为钝角 D．小于的角一定为锐角 【例1-2】（2023·全国·高一课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023福建厦门）（多选）下列说法错误的是（