湖南省长沙市实验中学2023-2024学年高二上学期第四次周考数学试题

高二数学第四次周考试卷 考试时间：60分钟 总分：100分 姓名 一、单选题（共6小题，满分24分，每小题5分） 1. 若椭圆 与椭圆 ，则两椭圆必定 　　 A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．有相等的离心率 2、椭圆 与直线 的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 3．已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4、已知 是椭圆 的左焦点， 为过 且倾斜角为 的直线，若 与圆 相切，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 5、若过双曲线 的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交 轴于点 （ 为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 6、已知P是椭圆 上动点，则P点到直线 的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分） 7、下列命题中正确的是（    ） A．双曲线 与直线 有且只有一个公共点 B．平面内满足 的动点P的轨迹为双曲线 C．若方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则 D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程为 8、已知双曲线 ，点 是 上任意一点，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线 的离心率为 B．焦点到渐近线的距离为 C．左右焦点分别为 ，若 ，则 或 D．若左、右顶点分别为 ，当 与 不重合时，直线 与直线 的斜率之积为 9、已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 作直线 垂直于双曲线 的一条渐近线，直线 交双曲线 于点 ，若 ，则双曲线 的渐近线方程可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 10、若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 ． 11、与双曲线有相同焦点的等轴双曲线标准方程为 . 12、若椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为 13、已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的值为_________ 14、已知双曲线的左，右焦点分别为、，点在双曲线上，且，的平分线交轴于点，则 . 解答题（共30分，每题15分） 15.已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，过点 ． （1）求双曲线C的标准方程； （2）双曲线C是否存在被点 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 16、已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值 $$高二数学第四次周考试卷 姓名 一、（共6小题，满分24分，每小题5分） 1. 若椭圆 与椭圆 ，则两椭圆必定 　B　 A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．有相等的离心率 2、椭圆 与直线 的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】直线过定点 在椭圆内，故直线与椭圆相交. 3．已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， ，又，解得， . 故选：A. 4、已知 是椭圆 的左焦点， 为过 且倾斜角为 的直线，若 与圆 相切，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知： ，则直线 ，即 ， 与圆 相切， ，即 ， ， ， 椭圆的离心率 . 5、若过双曲线 的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交 轴于点 （ 为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线 的渐近线方程为 ， 记点 ，由题意可知，点 为双曲线 的右焦点， 易知直线 与直线 垂直，且 ， 所以， ，可得 ， 因此，该双曲线的离心率为 . 故选：C. 6、已知P是椭圆 上动点，则P点到直线 的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将椭圆 化为参数方程为 （ 为参数）， 设 ，则P点到直线 的距离为 ， 当 时， 取得最小值 ， 故选：D 二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分） 7、下列命题中正确的是（    ） A．双曲线 与直线 有且只有一个公共点 B．平面内满足 的动点P的轨迹为双曲线 C．若方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则 D．已