河南省洛阳市第一高级中学2023-2024学年高三上学期10月阶段测试数学试题

高三上期 数学试题 2023.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、当时,( ) A.1 B. C.i D. 2、已知，则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 3、已知为锐角,且，则( ) A. B. C. D. 4、已知在中，，，，动点M位于线段BC上，则的最小值为( ) A.0 B. C. D. 5、函数的部分图象如图所示，B，C分别为函数的图象与x轴、y轴的交点，.若函数的图象与直线在内的两个交点的坐标分别为和，则( ) A. B. C. D. 6、已知数列满足，，若数列的前50项和为1273，则( ) A.0 B.-1 C.1 D.2 7、如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为( ) A.2 B.1 C. D. 8、如图，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9、已知，，则下列选项中正确的有( ) A. B. C. D. 10、在公比为整数的等比数列中,是数列的前项和,若,则下列说法正确的是( ) A. B.数列是等比数列 C. D.数列是公差为2的等差数列 11、如图,已知E是棱长为2的正方体的棱BC的中点,F是棱的中点,设点D到平面的距离为d,直线DE与平面所成的角为，平面与平面AED的夹角为,则下列说法正确的有( ) A.平面 B. C. D. 12、已知函数，则( ) A.当时， B.，方程有实根 C.方程有3个不同实根的一个必要不充分条件是“” D.若，且方程有1个实根，方程有2个实根，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 14、已知，若对于任意的，恒成立，则实数a的取值范围为___________. 15、已知，，则的最小值是__________；当恒成立时，M的最小值是____________. 16、给出下列命题： ①直线与线段AB相交，其中，，则k的取值范围是； ②点关于直线的对称点为； ③圆上恰有3个点到直线的距离为1； ④直线与抛物线交于A,B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线相切. 其中是真命题的是__________（填序号）. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（10分）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，求的面积. 18、（12分）已知数列的前n项和为，，. （1）求数列的前n项和； （2）令，求数列的前n项和. 19、（12分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面平面ABCD，G为AB的中点，. （1）求证：平面ADF； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）设H为线段AF上的点，且，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值. 20、（12分）已知椭圆的离心率为,点分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上. 求椭圆的标准方程; 过点,斜率为的直线交椭圆于两点,且,的面积为,求直线的方程. 21、（12分）已知高三某学生为了迎接高考，参加了学校的5次模拟考试，其中5次的模拟考试成绩如表所示， 次数（x） 1 2 3 4 5 考试成绩（y） 498 499 497 501 505 设变量x，y满足回归直线方程. （1）假如高考也符合上述的模拟考试的回归直线方程，高考看作第10次模拟考试，预测2024年的高考的成绩； （2）从上面的5次考试成绩中随机抽取3次，其中2次成绩都大于500分的概率. 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 22、（12分）已知函数. （1）函数在上单调递增，求出实数a的取值范围； （2）若方程在上有两个不同的实根，求出实数a的取值范围. 参考答案 1、答案：D 解析：，故原式. 2、答案：D 解析：因为，所以，，所以切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，故选D. 3、答案：A 解析：因为为锐角，所以. 由可得， 则，又， 故，故选A. 4、答案：C 解析：在中，易知，所以，且，所以，所以当