精品解析：第二章 一元二次函数、方程和不等式 讲核心 01

第二章 一元二次函数、方程和不等式 1. 基本事实 （1）a＞b⇔a－b_____. （2）a＝b⇔a－b_____. （3）a＜b⇔a－b_____. 2. 等式的基本性质 性质1：如果a＝b，那么b＝a； 性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5：如果a＝b，c≠0，那么 2. 不等式的基本性质 序号 性质 简称 性质1 a>b⇔______ 对称性 性质2 a>b，b>c⇒______ 传递性 性质3 a>b⇒______ 可加性 性质4 a>b，c>0⇒______ a>b，c<0⇒______ 乘法法则 性质5 a>b，c>d⇒______ 相加法则 性质6 a>b>0，c>d>0⇒______ 相乘法则 性质7 a>b>0⇒______（n∈N，n≥2） 乘方法则 4. 基本性质的推论 （1）开方法则：a>b>0⇒ （2）倒数法则：a>b，ab>0⇒ （3）异向相减：a>b，c<d⇒a－c>b－d. （4）异向相除：a>b>0，0<c<d⇒ 5. 分数性质 若a>b>0，m>0，则 （1）真分数性质： （2）假分数性质：，（b－m>0）. 其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜（浓度变大）；糖水析出糖后，糖水变淡（浓度变小）. ” 6. 一元二次不等式 一元二次不等式 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般 形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0， ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0， 其中a，b，c均为常数，a≠0 7. 二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 3. 三个“二次”的对应关系 的图像　 ax 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 _____________ _____________ _____________ 的解集 _____________ _____________ _____________ 9. 一元二次不等式恒成立 （1）ax2＋bx＋c>0（a≠0）恒成立⇔ 注意：若a＝0，则恒成立的充要条件为b＝0，c>0. （2）ax2＋bx＋c<0（a≠0）恒成立⇔ 注意：若a＝0，则恒成立的充要条件为b＝0，c<0. 10. 单变量恒成立、有解、无解的转化 ①对任意x∈[m，n]，a>f（x）恒成立⇒a>f（x）max； 若存在x∈[m，n]，a>f（x）有解⇒a>f（x）min； 若对任意x∈[m，n]，a>f（x）无解⇒a≤f（x）min. ②对任意的x∈[m，n]，a<f（x）恒成立 ⇒a<f（x）min； 若存x∈[m，n]，a<f（x）有解⇒a<f（x）max； 若对任意x∈[m，n]，a<f（x）无解⇒a≥f（x）max. 4. 基本不等式 如果a>0，b>0，那么______≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，______叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数______它们的几何平均数. 5. 几个重要不等式 重要不等式 使用前提 等号成立条件 a2＋b2≥_____ a，b∈R a＝b ≥2 _______ a＝b ≤－2 ab<0 ________ ≤ a，b∈R a＝b ≤______ a，b∈R a＝b 6. 基本不等式求最值 （1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_____（简记为：积定和最小）. （2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）. 14. 常用推论 （1）（a＋b）2≤2（a2＋b2）. （2）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. （3）|2ab|≤a2＋b2⇔－（a2＋b2）≤2ab≤a2＋b2. （4）≤≤≤（a>0，b>0）. 即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 15. 三元均值不等式 （1）≥. （2）≥abc. 以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 利用不等式性质进行命题的判断时，判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断（判断成立时）或反例说明（判断不成立时），在实际