精品解析：第七章 复数 讲核心 01

1. 复数的概念 概念 定义 复数 把形如 （a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做 . 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的 与 复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R} 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R 复数 分类 复数z＝a＋bi（a，b∈R）分类： 复数 共轭 复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为 ，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi（a，b∈R），那么z＝a－bi 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 复数z＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位）对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 即|z|＝|a＋bi|＝ ，其中a，b∈R. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z（a，b）到坐标原点的距离 答案：a＋bi 虚数单位 实部 虚部 共轭复数 2. 复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定， 的向量表示同一个复数. 答案：相等 3. 复数的四则运算 （1）运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则 ①z1±z2＝ . ②z1z2＝ . ③＝ （z2≠0）. 答案：（a±c）＋（b±d）i （ac－bd）＋（ad＋bc）i ＋i （2）复数加、减法的几何意义 加 法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减 法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 （3）复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 （z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3） （4）复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 （z1z2）z3＝z1（z2z3） 分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3 复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法. 复数概念中应注意的几点：①对于复数m＋ni，如果m，n∈C（或没有明确界定m，n∈R），则不可想当然地判定m，n∈R；②易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应（注意原点除外）；③对于a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0. （一）复数的实部与虚部 【例题】 1. 设复数满足（为虚数单位），则复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 【练习题】 2. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知复数的实部和虚部相等，其中为虚数单位. （1）求复数z的模； （2）若复数是纯虚数，求实数m的值. （二）共轭复数 【例题】 4. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【练习题】 5. 若复数满足 ，则___________. 6. 若复数z满足：，则的共轭复数的虚部为（ ） A. -2 B. i C. 0 D. 2 （三）复数相等 【例题】 7. 已知复数，，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【练习题】 8. 已知，求实数x，y的值. 9. 若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝（ ） A. 0 B. 2 C 5 D. 1 （四）复数分类 【例题】 10. 已知复数（）.试求实数分别为什么值时，分别为： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 【练习题】 11. 设是复数，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 若，则不一定是实数 B. 若，则是虚数 C. 若是虚数，则 D. 若是纯虚数，则 12. 设为实数，复数，（其中i为虚数单位），若为纯虚数，则值为_______. （五）待定系数求复数 【例题】 13. 已知复数满足，且，则______． 【练习题】 14. 设，则方程的解为_________. 15. 若复数满足，则______． 【易错题小练习】 16. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ） A.