专题08 双曲线及其方程（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题08 双曲线及其方程 考点一 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0. (1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线； (3)当a＞c时，点P不存在． 考点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 考点三、常用结论 1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径． 2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 重难点题型突破1 双曲线的定义及其应用 例1、(1)、（2022·全国·高二课时练习）若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（    ） A．双曲线的一支 B．圆 C．抛物线 D．双曲线 (2)、（2023秋·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）若方程所表示的曲线为，则下列命题错误的是（    ） A．若曲线为双曲线，则或 B．若曲线为椭圆，则 C．曲线可能是圆 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 (3)、设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________． 【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______. 【变式训练1-2】、（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-3】、（2021·全国·高二课时练习）已知动圆M与圆C1：(x＋5)2＋y2＝16外切，与圆C2：(x－5)2＋y2＝16内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________． 重难点题型突破2 双曲线的标准方程 例2、（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上，且过点； (2)经过两点，. 【变式训练2-1】、（2023秋·内蒙古包头·高二校考阶段练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 重难点题型突破3 双曲线的几何性质及其应用 例3、（1）、（2023秋·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（    ） A．9或1 B．1 C．9 D．9或2 （2）．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线，则焦点到渐近线的距离为___________ （3）．（2022·全国·高二专题练习）与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为______． （4）．（2023秋·河北保定·高二校联考阶段练习）（多选题）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（    ） A．渐近线方程为 B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数 C．若双曲线上一点满足，则的周长为28 D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 【变式训练3-1】、（2022·全国·高二课时练习）等轴双曲线过点，则它的焦点的坐标为______． 【变式训练3-2】、（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为2，则 ． 【变式训练3-3】、（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，且该双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为 . 【变式训练3-4】、（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）（多选题）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（    ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的实轴长为6 C