专题07 椭圆及其方程（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题07 椭圆及其方程 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ＝2c 离心率 e＝，　　e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 【知识必备】 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 重难点题型突破01 椭圆的定义及其应用 例1、（1）、（2023秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． （2）、（2021·全国高二专题练习）动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________． 【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 【变式训练1-2】．（2021·全国高二课时练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 重难点题型突破02 椭圆的标准方程与简单的几何性质 例2．（1）、（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 （2）、（2023秋·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为 ． 【变式训练2-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、（2022·江苏·高二）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______. 重难点题型突破03 求椭圆的标准方程 例3、（2022·陕西·定边县第四中学高二阶段练习（文））求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点； (2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26． 【变式训练3-1】、（2023秋·江西抚州·高二金溪一中校联考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)经过点和点； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为. 重难点题型突破04椭圆的范围与最值问题 例4．（1）、（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是椭圆上任意一点，求的取值范围． 【变式训练4-1】、（2023秋·陕西西安·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若