专题09 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题09 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式 知识点一 角的概念 1．角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类 角的分类 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 知识点二 弧度制及应用 1．弧度制的定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点三 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 考点四 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝. 2．同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 考点五 三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α 重难点题型突破1 任意角与弧度制 例1．（1）、（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）化为角度是（    ） A． B． C． D． （2）、（2021·北京市第四十三中学高一期中）将化为弧度制的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）将角度化为弧度是______. 【变式训练1-2】、（2023春·上海嘉定·高一校考期末）把化为弧度 . 例2．（2023秋·上海松江·高一校考期末）下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【变式训练2-1】、（2023春·江西萍乡·高一萍乡市安源中学校考期中）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 重难点题型突破2 扇形的弧长与面积公式 例3．（1）、（2023·全国·高一专题练习）已知扇形的半径为10，圆心角为，则扇形的弧长为 ． （2）、（2023秋·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习）已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】、（2021·河南·信阳市浉河区新时代学校高一月考）一扇形的周长为4cm，面积为1cm2，则该扇形的圆心角为______ 【变式训练3-2】、（2023秋·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 例4．（1）、（2023秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）如图所示，已知扇形的圆心角为，半径长为，则阴影部分的面积是 ． （2）、（2023秋·江西·高三统考开学考试）《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧