专题01 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题01 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。 模型1、切线长模型 1）切线长模型（标准类） 条件：P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 2）切线长模型（拓展类） 条件：AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 例1．（2022春·成都市九年级期中）如图，，分别切于点A，B，切于点E，交，于点C，D．若的周长为半径的3倍，则的值为(   )    A． B． C． D． 例2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC＝90°，②AD+BC＝CD，③S△AOD：S△BOC＝AD2：AO2，④OD：OC＝DE：EC，⑤OD2＝DE•CD，正确的有（　　） A． B． C． D． 例3．（2022·四川成都·模拟预测）已知：如图，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，连接CD，并延长交BE的延长线于点A.，(1)证明：CD是⊙O的切线；(2)求证：DE·OC＝ BE2． 模型2. 燕尾模型 条件：OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2022·河南焦作·统考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________． 求证：___________． 证明： 例3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC． (1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长． 例4．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．    模型3. 蝴蝶模型 条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。 结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 例1．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证． 例2．（2023·河南洛阳·统考一模）概念引入 在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． 概念理解 (1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　　． (2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：． 概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长． 例3．（2022·河南平顶山·统考二模）阅读下面的材料，完成相应的任务： 在1815年某杂志上刊登了这样一个命题：如图，圆O中的弦AB的中点为G，过点G任作两弦CD，EF，弦FC，ED分别交AB于P，Q，则PG=QG．由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，故称“蝴蝶定理”、是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一． 任务：(1)如图1，AB为⊙O的任一弦． ①若G为弦AB的中点，连接OG，则OG与AB的位置关系为______； ②若OG⊥AB，判断AG与BG之间的数量关系，并说明理由． (2)下面是“蝴蝶定理”的证明过程（部分），请补充完整． 证明：过O作OM⊥FC于点M，ON⊥DE于点N，