3.2直线与双曲线的位置关系导学案第一课时-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2直线与双曲线的位置关系（第一课时） 班级 姓名 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题； 3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【自学天地】 知识点1 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞ 直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝ 直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜ 直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 知识点2 等轴双曲线 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 P1P2 == 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 问题：x1 x2 满足什么样的关系，直线与双曲线相交于同一支？ 题型 1　直线与双曲线的公共点 例1．已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 题型2 交点与弦长 例2（1）已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A, B两点，当a为何值时，点A, B在双曲线的同一支上？当a为何值时，点A, B分别在双曲线的两支上？ （2） 过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程. （3） 已知双曲线，直线过右焦点，且倾斜角为，与双曲线交于，两点，试问，两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦的长． （4）已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的焦点到渐近线的距离； (2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值. 题型 3　中点弦问题 例3 已知双曲线的方程为． （1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程． （2）过点能否作直线l，使直线l与所给双曲线交于，两点，且点B是弦的中点？如果直线l存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 【课堂小练】 已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（    ） A．过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点 B．点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上 C．若直线、的斜率分别为、，则 D．过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为 答案 例1．(1)或或； (2)或 (3)或 【详解】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 例2（1）若点A, B在双曲线的同一支上，或；若点A, B分别在双曲线的两支上，. 【详解】联立得. 由题意知 解得且. 若点A, B在双曲线的同一支上，则>0， 解得或， 所以或 若点A, B分别在双曲线的两支上，则， 解得. 例2（2）两条，和 【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论可得答案. 【详解】若直线的斜率不存在， 则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件， 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 则，代入到双曲线方程，得， 所以， 当时，方程无解，不满足条件； 当时，方程有一解，满足条件； 当时，令， 化简后知方程无解，所以不满足条件. 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和.    例2（3），两点不在双曲线的同一支上, 【详解】解：双曲线方程可化为， 故，，，∴.∴， 又直线的倾斜角为，∴直线的斜率， ∴直线的方程为，代入双曲线方程，得. 设，，∵， ∴，两点不在双曲线的同一支上． ∵，， ∴ . 例2（4）．(1) (2) 【详解】（1）双曲线离心率为，实轴长为2， ，，解得，， ， 所求双曲线C的方程为； ∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为， ∴双曲线的焦点到渐近线的距离为. （2）设,, 联立，，， ，． ， ， 解得． 例3（1）；（2）不存在，理由见解析. 【详解】（1）因为点在双曲线内， 所以过