3.3.2抛物线的简单几何性质（1） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版选择性必修第一册 3.3.2 抛物线的简单几何性质（1） 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 四种抛物线的标准方程： P的意义: 抛物线的焦点 到准线的距离 方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式; 决定了焦点的位置. 抛物线定义 在平面内,与 一个定点F和 一条定直线l (l不经过点F) 的距离相等的 点的轨迹叫 抛物线. 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，通过抛物线的标准方程，你认为可以研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 教材P134思考： 小组合作探究 范围 1、 由抛物线y2 =2px（p>0） 有 所以抛物线的范围为 探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质? 因为p>0，由方程可知 x≥0，所以抛物线在y轴的 右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸． 对称性 2、 关于x轴 对称 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称. 则 (-y)2 = 2px 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 探索新知 顶点 3、 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。 y2 = 2px (p>0)中，令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0,0）. 探索新知 离心率 4、 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1. F A B y2=2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径， 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. |AB|=2p 通径 5、 2p越大，抛物线张口越大. 探索新知 x y O 焦半径 6、 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 |PF|=x0+p/2 焦半径公式： 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 x 轴 抛物线的几何性质 x 轴 y 轴 y 轴 (1)抛物线只位 于半个坐标平面 内,无限延伸,但 没有渐近线； (2)抛物线只有 一条对称轴,没有 对称中心 (3)、抛物线只有 一个顶点,一个焦 点,一条准线 (4)抛物线的 离心率e是 确定的为１ ⑸抛物线的 通径为2P, 2p越大,抛物 线的张口越大. 　例１：（教材P134例3）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程. 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　）， 解: 所以设方程为： 又因为点M在抛物线上， 所以： 因此所求抛物线标准方程为： 应用探究 变式2:求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程 变式1：删去条件“关于x轴对称”，又如何求解？ 2 4 l 巩固:（教材P139T8）图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？ x o A 若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？ 2 B 解：A(2,－2) x2=－2y B(1,y) y=－0.5 B到水面的距离为1.5米 不能安全通过 y=－3代入得 y 应用探究 例3、正三角形的一个顶点位于坐标原点， 另外两个顶点在抛物线 上， 求这个三角形的边长。 y x o A B (x1,y1) (x2,y2) 应用探究 由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。 因为x轴垂直于AB，且 ， 例3、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。 解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22 即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0, y x o A B (x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0, X1=X2. 所以 (x1,y1) (x2,y2) 应用探究 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于１； 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大. 1、范围： 2、对称性： 3、顶点： 4、离心