3.3.2抛物线的几何性质（3） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质（3） 温故知新 2 知识要点2 焦点弦 过抛物线的焦点且与抛物线相交的直线，被抛物线截取的线段叫抛物线的焦点弦. 焦点弦中与对称轴垂直的弦叫做抛物线的通径， 长度为2p.这是标准方程中2p的几何意义. F y O x . . . . . . . . A B l F A A1 x y B B1 新知探究 例1. 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点， 与抛物线交于两点 A、B，求线段 AB的长. 例1. 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点， 与抛物线交于两点 A、B，求线段 AB的长. 解： 另解： A’ B’ A B O x y F 探究1：已知过抛物线 的焦点F的 直线交抛物线于 两点，M是 AB的中点 ，直线AB的倾斜角为α， （1）y1y2 是否为定值？ 呢？ （2）能否用倾斜角α 表示弦长AB ，焦半径丨AF丨，丨BF丨，三角形AOB的面积？ 深度学习 拓展探究 探究1：已知过抛物线 的焦点F的 直线交抛物线于 两点，M是 AB的中点 ，直线AB的倾斜角为α， 是否为定值？ （4）以AB为直径的圆与抛物线的准线有何位置关系？ 深度学习 拓展探究 例2. 证明： M A B O x y F A’ B’ M’ （2）证明:以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F. 证明： 连结 DF、CF， 则由|BF|=|BD|, 得∠BFD=∠BDF, 又 BD // x轴, ∴∠BDF=∠DFO, ∴∠BFD=∠DFO. 同理 ∠AFC=∠CFO. ∵∠BFD +∠DFO +∠CFO +∠AFC=180° ∴∠DFO +∠CFO =90° 即 ∠DFC =90°. ∴焦点F在CD为直径的圆上. 连结 NF， 则 |NF|=|ND|, ∴∠NFD=∠NDF, ∵∠BDF +∠NDF =90° ∴∠BFD +∠NFD =90° 而∠BFD=∠BDF, ∴ NF⊥AB ∴以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F. 深度学习 拓展探究 结论：过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线AB的倾斜角为α，则 （8）以AF为直径的圆与y轴相切. (7) 以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F. (6) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； 这些结论非常奇妙, 变中有不变, 动中有不动. 探究2：已知过抛物线 焦点F的直线交抛物线于 两点，M是AB的中点 深度学习 拓展探究 （几何法，代数法） （几何法，代数法） （几何法，代数法）   x O y F A B M 例3（教材P136例5） 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与它交于两点A、B，通过点A和抛物线顶点的直线交准线于点C，求证：直线CB∥x轴. 证明： 反思：此命题的逆命题是否成立？ 变式：设抛物线焦点F，经过F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，求证：直线AC经过原点O. 证明： 直线与抛物线的位置关系 ⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线的对称轴平行; 相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平行于抛物线的对称轴; 相离:直线与抛物线无公共点. ⑵直线与抛物线的位置关系的判断. 把直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组,于是: ①方程组有一组解 直线与抛物线相交或相切(1个公共点; ②方程组有两组解 直线与抛物线相交(2个公共点); ③ 方程组无解 直线与抛物线相离 解这题,你有什么方法呢? 法一:直接求两点坐标, 计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求, 运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义, 运用韦达定理,计算弦长. $$