3.2.1双曲线及其标准方程（3） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 第3课时 温故知新 说 明： 双曲线定义 M点的轨迹是什么？ M点的轨迹是焦点F1 所对应的一支； （1） （2） 焦点F2 所对应的一支 思考2:为什么定义中的距离之差要加绝对值？ 不加会得到什么？ 探究一——焦点三角形问题 拓展探究 常用技巧 结论牢记 同学们试一下吧，发挥焦点三角形的魅力吧！！ 例2、由双曲线 上的一点P与左、右两焦点 构成 ，求 的内切圆与边 的切点坐标。 深度学习 |NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a．    ① 又|NF1|＋|NF2|＝2c．    ② ∴|ON|＝|NF1|－|OF1|＝ a＋c－c＝a＝3． 故切点N的坐标为（3，0）． 根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为（－3，0）． 【解】由双曲线方程知a＝3，b＝2， 如下图，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a．     根据从圆外一点引圆的两条切线长相等可得 由①②得 另解：|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a 由定义，N在以F1，F2为焦点的双曲线C 上，又在直线F1F2上，从而确定N的位置 你发现了什么结论？能证明吗？ 深度学习 结论:若焦点三角形PF1F2的内切圆与F1F2切于点Q，则点Q为双曲线的顶点． 例3：双曲线C：-=1, 点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线C在第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF的周长的最小值为 (　　) A. 8 B. 10 C. 4+3D. 3+3 解：双曲线的方程为-=1.一个焦点为F(0,-), 设双曲线的上焦点为F',则|PF|=|PF'|+4,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3, 当P点在第一象限时,|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3,故△PAF的周长的最小值为10.故选B 解: 在△ABC中,|BC|=10， 故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支 又因c=5，a=3，则b=4 则顶点A的轨迹方程为 备选例题 备选例题 解析:F1(-5,0),N(5,0)分别是双曲线的左右焦点,PF1与圆F1有两个交点,距离P较远的那个点满足|PM|-|PN|最大,此时|PM|-|PN|=|PF1|-|PN|+2. =2a+2=2×3+2=8,故选D. 3.本节所用到的数学思想有： 数形结合思想 分类讨论思想 小结反思、升华素养 课后作业 2. 《校本学材》3.2.1（2） 1. 教材 P127习题 3.2T1、5 、9、10 焦点 焦距 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的 常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 距离的差的绝对值等于非零 [答案] 两条射线 巩固练习：平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是 　　　　.  [解析] 由已知得|F1F2|=8,而|PF1|-|PF2|=±8,即2a=8,不满足2a<|F1F2|这一条件,故所求点的轨迹是两条射线. 答案： 　 例1：已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则 PF1F2的面积为 解析：由双曲线的方程得a＝1，c＝eq \r(2)， 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即(2eq \r(2))2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4. 2．类比椭圆焦三角形的面积公式探究双曲线的焦三角形的面积公式 如图所示，设∠F1PF2＝θ. 求△PF1F2的面积 1．观察 看到与焦点三角形有关的问题想到双曲线的定义及余弦定理的应用． 2．方法 (1)根据动点与两定点的距离的差的绝对值判断动点的轨迹是否为双曲线，进而