3.2.1 双曲线及其标准方程（第2课时）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

3.2.1 双曲线及其标准方程（第2课时） 第 三 章 圆锥曲线的方程 人教A版2019选修第一册 学习目标 1.了解双曲线的定义． 2.了解双曲线的几何图形和标准方程． 3.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程. 4.能利用双曲线的标准方程解决实际问题. 01情景导入 PART ONE 复习导入 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 双曲线与椭圆之间的区别与联系 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 02 双曲线焦点三角形 PART ONE 焦点三角形 焦点三角形 例1.设双曲线＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上. 若∠F1PF2＝90°， 求△F1PF2的面积． 解：　由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝， 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)， 如图所示．由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4， 两边平方得＋－2r1r2＝16. ∵∠F1PF2＝90°， ∴＋＝4c2＝4×()2＝52. ∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝r1r2＝9. 焦点三角形 类题通法 双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c， 所以有 (1)定义：|r1－r2|＝2a. (2)余弦定理：4c2＝＋－2r1r2cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决． 焦点三角形 焦点三角形 练习2.已知双曲线 (a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为(　　) A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m 解析:不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a, 所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C. C 焦点三角形 03 求轨迹方程 PART ONE 轨迹方程 轨迹方程 轨迹方程 [易错防范] 1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支． 2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|(a>0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0<2a<|F1F2|)时，P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支． 轨迹方程 例3. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF= ,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程. 轨迹方程 解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图. 轨迹方程 轨迹方程 【思路分析】　建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程． 轨迹方程 04 求最值 PART ONE 求最值 C 求最值 求最值 求最值 05课堂小结 PART ONE 课堂小结 焦点三角形 如图，P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形． 设∠F1PF2＝θ，则由双曲线的定义及余弦定理得， ||PF1|－|PF2||＝2a⇔|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2①， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ＝|F1F2|2＝4c2②. 由②－①得2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2， 则|PF1|·|PF2|＝eq \f(2b2,1－cos θ). 又S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin θ，从而S△PF1F2＝b2·eq