3.2.1 双曲线及其标准方程（第1课时）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

3.2.1 双曲线及其标准方程（第1课时） 第 三 章 圆锥曲线的方程 人教A版2019选修第一册 学习目标 1.了解双曲线的定义． 2.了解双曲线的几何图形和标准方程． 3.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程. 01情景导入 PART ONE 复习导入 1.椭圆的定义: 平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 2.椭圆的标准方程: 问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 情景导入 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。 02 双曲线及其标准方程 PART ONE 双曲线及其标准方程 探究： 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 提示：如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． 双曲线及其标准方程 ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. o F 2 F 1 M 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 双曲线的定义 集合语言表示：P＝{M| ,0<2a<|F1F2|} ||MF1|-|MF2||＝2a 双曲线及其标准方程 思考1:双曲线的定义中，常数为 ，0<2a<|F1F2|为什么？ 提示:若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线； 若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在． 若2a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线． 思考2:双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？ 提示:若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支． F1 F2 M F1 F2 M 双曲线及其标准方程 探究：类比椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得到双曲线的方程？ (1)建系：以经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么双曲线的焦点F1，F2的坐标分别是(－c,0)，(c,0)． x y o F1 F2 P 双曲线及其标准方程 (3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 －＝±2a. (4)化简：移项，平方后可得:(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2. 双曲线及其标准方程 思考：类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 双曲线的焦距为2c，焦点分别为F1（0，-c）,F2(0，c),a,b意义这时双曲线的方程是 ＝1(a＞0，b＞0) 这个方程也是双曲线的标准方程。 双曲线及其标准方程 a2＋b2 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 双曲线及其标准方程 思考：怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？ 提示：椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定. 思考：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a、b、c之间的关系有何不同？ 提示：a、b、c之间的关系：椭圆是，双曲线是c2＝a2＋b2 （记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有c<a；双曲线焦点在顶点之外，所有c>a） 03 双曲线及其标准方程应用 PART ONE 双曲线及其标准方程 D 双曲线及其标准方程 练习1.双曲线＝1的焦距为(　　) A．3　　　B．4 C．3 D．4 练习2.已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________． 双曲线及其标准方程 C 双曲线及其标准方程 例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P(3，)，Q(－，5)； 解：　(1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－