1.3 正方形的性质与判定 同步练习 2023－2024学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定 一、选择题 1. 下列图形有四条对称轴的是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形 2. 在等腰三角形,等边三角形、平行四边形、正方形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 3. 下列图形对称轴最多的是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 4. 下列说法中,正确的是( ) A.一组邻边相等的平行四边形是正方形; B.对角线互相垂直的菱形是正方形; C.有一个角是直角的四边形是菱形; D.对角线相等的平行四边形是矩形; 5. 下列说法正确的是( ) A.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形 B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C.四条边相等的四边形一定是正方形 D.四个角是直角的四边形是正方形 6. 下列说法正确的是( ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形是正方形 C.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.菱形的对角线平分每组对角 7. 下列命题中,是真命题的有( ) ①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④对角线相等的菱形是正方形 A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 8. 正方形的对角线长为,则其周长为( ) A.8 B. C. D.16 9. 顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形,则四边形一定满足( ) A. B. C. D. 10. 如图,点B,C,E在同一直线上,分别以为边作正方形和正方形,,H是的中点,那么的长是( ) A. B. C. D. 11. 如图,矩形纸片中,,现将其沿对折,使得点落在边上的点处,折痕与边交于点,则的长为( ) A. B. C. D. 12. 如图,正方形的边长为10,点是边的中点,点是边上一动点,连接,将沿翻折得到,连接.当最小时,的长是( ) A. B. C. D. 二、填空题 13. 如图,正方形和正方形的边长分别为和,点,分别在边,上,为的中点,连接,则的长为 _. 14. 如图,正方形的面积是4,E是的中点,P是对角线上的动点,的最小值是_. 15. 我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两组全等的三角形(,).如图所示,已知,正方形的边长是2,,则的长为_. 16. 如图,四边形是正方形,点E是边上一点,且,且交正方形外角平分线于点F.若正方形边长是8,,则的长为_. 三、解答题 17. 综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识. (1)折一折、猜想计算: 如图①:把边长为8的正方形纸片对折,使边与重合,展开后得到折痕. 如图②:将正方形纸片沿经过点A的直线折叠,使点落在上的点处,展开后连接, 图②中,为_三角形,线段_; (2)折一折、类比探究:如图③将正方形纸片折叠,使点落点处,折痕与边交于点,与边交于点,展开后连接. ①猜想线段与线段之间的关系_; ②_; (3)折一折、探究证明:如图④:将正方形纸片沿经过点A的直线折叠,使点落在正方形纸片内部的点处,折痕与边交于点,展开后延长交于点. 猜想与的数量关系并证明;若,则_. 18. 如图,在正方形中,为对角线,E为上一点,连接. (1)求证:; (2)当时,求的长. 19. 在正方形中,点是边上任意一点,连接,过点作于,交于. (1)如图1,过点作于,求证:; (2)如图2,点为的中点,连接,求证:; (3)如图3,,连接,点为的中点,在点从点运动到点的过程中,点随之运动,请直接写出点运动的路径长. 20. 综合与实践: 操作发现: 如图1,在纸片中,,于点. 第一步:将一张与其全等的纸片,沿剪开; 第二步:在同一平面内,将所得的两个三角形,和拼在一起.如图2所示,这两个三角形分别记为和; 第三步:分别延长和相交于点. (1)求证:四边形是正方形; 拓广探索: (2)如图3,连接分别交,于点,在四边形外作,使得,,判断线段,,之间的数量关系,并说明理由. 21. 已知,四边形是正方形,绕点旋转,,,连接,. (1)如图1,求证:; (2)直线与相交于点G. ①如图2,,于点,于点,求证:四边形正方形; ②如图3,连接,若,,直接写出在旋转的过程中,线段长度的最小值. 学科网(北京)股份有限公司 $$