专题13.3 三角形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题13.3 三角形中的几何综合 【典例1】已知． （1）若，作，点A在内． ①如图1，延长交于点D，若，则的度数为　　； ②如图2，垂直平分，点A在上，，求的值； （2）如图3，若，点E在边上，，点D在边上，连接，求的度数． 【思路点拨】 （1）①连接，由已知易得，继而可知，则有，，所以，得是等腰三角形，再由三角形外角的性质即可求解． ②过C点作交延长线于H，构造K字形全等，得，，再由可得，进而可得，而，即有，再由三角形面积公式可求比值． （2）以为边作等边三角形，由是顶角为的等腰三角形，易得垂直平分，由可知，再在上取M点，使，由即可判定，所以，再由已有条件易得，所以是等腰三角形，进而求出度数即可． 【解题过程】 （1）解：①连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． ②解：连接，过C点作交延长线于H， ∵垂直平分，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，   又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴； 故的值为； （2）解：以为边作等边，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在上取M点，使， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）在等边中，将线段绕点旋转，得到线段，连接、． （1）如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则的度数为 ； （2）将线段绕点顺时针旋转时，得到线段，连接、． ①在图2中依题意补全图形，并求的度数； ②若的平分线交于点，交的延长线于点，连结．则与之间存在怎样的等量关系，并证明．   2．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，已知等腰直角△ABC中， ，以为边在点A的另一侧作等边，点F，G分别在线段，上，，且，与相交于点H，延长交于E． （1）求证：是等边三角形； （2）试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3）若点M是边上的动点，AB＝a，，，求周长的最小值（结果用含a，b，c的整式表示）．   3．（2023春·全国·八年级专题练习）已知在中，于点，于点，且，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为上一点，连接并延长与的延长线相交于点，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，使得，过点作交于点，若，求的长．   4．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，，是的角平分线，于点E．      （1）如图1，连接，求证：是等边三角形； （2）点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出与之间的数量关系； （3）如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由． 5．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，等腰中，，平分．点为上的动点，连接，将沿折叠得到． （1）若，试求出的长度； （2）若，设与相交于点． ①请求出的度数； ②连接，过点作交的延长线于点．若，．试求线段的长． 6．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接AE． （1）如图1，当时，求证：； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线AP同侧，求证：； （3）在点P运动过程中，连接，当点P运动______秒时，线段长度取到最小值． 7．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线． （1）在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________． （2）如果，平分交于点，且、相交于点，求证：． （3）如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数． 8．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）（1）已知中，，． ①如图1，点M，N均在边上，，，，连接；请直接写出与的数量关系 ②如图2，点M在边上，点N在的上方，且，求证：； （2）如图3，在四边形中，，平分，若与互余，则的大小为______（用含的式子表示）．   9．（2023·全国·八年级专题练习）如图1，等边的边长为4，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在在侧作等边，连接．    （1）求证：； （2）当点在直线上运动时， ①的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； ②能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由．   10．（2023春·全国·八年级期中）已知：是等边三角形，是等腰三角形，其中，过点作，分别交于，交于，