(教参)下册第1章 微素养、专题突破十一 三角函数应用的基本策略-【精彩练习】2023-2024学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书word+课件PPT（浙教版，浙江专用）

　三角函数应用的基本策略 【例1】 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，BE＝110 cm，DE＝80 cm，求活动杆端点D离地面的高度DF.(结果精确到1 cm，参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11) 例1题图 　　　例1题答图 解：如图，过点D作DG⊥AE于点G，得矩形GBFD， ∴DF＝GB. 在Rt△GDE中，DE＝80 cm，∠GED＝48°， ∴GE＝DE×cos 48°≈80×0.67＝53.6(cm)， ∴GB＝GE＋BE＝53.6＋110＝163.6≈164(cm). ∴DF＝GB＝164 cm. 答：活动杆端点D离地面的高度DF为164 cm. 【变式】　如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为70米，此时无人机D距地面AB的高度为74.6米，求小区楼房BC的高度．(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73) 变式题图 　　变式题答图 解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示，则∠DAE＝75°，∠DCF＝45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝CF.在Rt△ADE中，tan ∠DAE＝，∴AE＝≈＝20(米)，∴BE＝AB－AE≈70－20＝50(米).∵四边形BCFE是矩形， ∴CF＝BE≈50米，∴DF＝CF≈50米， ∴BC＝EF＝DE－DF≈74.6－50＝24.6(米). 答：小区楼房BC的高度约为24.6米． 【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论中不正确的是(　C　) A．sin B＝　　　　B．sin B＝ C．sin B＝ D．sin B＝ 例2题图 变式题图 【变式】　如图，AB是⊙O的直径，＝，AB＝5，BD＝4，则sin ∠ECB＝____． 【例3】 如图，为了测量某条河的对岸C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB的长为70米．求C，D两点间的距离．(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈) 解：如图，过点C，D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足分别为M，N， 在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，∴AM＝MC. 在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°， tan ∠ABC＝， ∴BM＝≈CM. ∵AB＝AM＋BM≈CM＋CM＝70(米)， ∴CM＝DN≈30(米). 在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°， ∴BN＝＝＝10(米)， ∴CD＝MN＝MB＋BN≈×30＋10＝(40＋10)米． 答：C，D两点间的距离约为(40＋10)米． 【变式】　如图，AB是⊙O的直径，延长AB至点P，使BP＝OB，BD垂直于弦BC，垂足为B，点D在PC上．设∠PCB＝α，∠POC＝β.求证：tan α·tan＝. 变式题图 　　变式题答图 证明：如图，连结AC，则∠A＝∠POC＝， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. ∵BD⊥BC，∴BD∥AC， ∴∠PBD＝∠A. ∵∠P＝∠P，∴△PBD∽△PAC， ∴＝. ∵PB＝OB＝OA， ∴＝，∴＝， ∴tan α·tan ＝·＝＝. 【例4】 如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2 km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离． 例4题图 　例4题答图 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 则∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴AD＝CD. 设AD＝x km，则AC＝x km， ∴BD＝AB－AD＝(2－x)km. 在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，tan ∠CBD＝， ∴＝，解得x＝3－. 经检验，x＝3－是原方程的根． ∴AC＝x＝(3－)＝(3－)km. 答：船C离观测站A的距离为(3－)km. 【变式】　某运载火箭的发射示意图如右所示．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．(结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414) 解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知AB＝3x， 在Rt