专题3.7 圆锥曲线的中点弦问题-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.7 圆锥曲线的中点弦问题 【知识梳理】 1 【考点1：椭圆的中点弦问题】 1 【考点2：双曲线的中点弦问题】 5 【考点3：抛物线中点弦问题】 8 【知识梳理】 关于直线与圆锥曲线相交的中点弦的有关结论(已知直线与圆锥曲线交于A,B两点,且AB的中点为M(x0,y0)： （1）当曲线是椭圆时,； 证明：设点A(x1,y1)、B(x2,y2),则,两个等式作差得,整理可得,设线段AB的中点为,即,. （2）当曲线是双曲线,(注:双曲线中利用点差法求解中点弦所在直线的斜率时, 要将结果带回原方程进行验证) （3）当曲线是抛物线y2=2px时,. 【考点1：椭圆的中点弦问题】 【知识点：椭圆的中点弦问题】  1．（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋·重庆·高二校联考期末）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（    ） A．直线l与OM一定垂直 B．若直线l方程为，则. C．若直线l方程为，则点M坐标为 D．若点M坐标为，则直线l方程为 3．（2023秋·全国·高二期中）如图，已知斜率为－2的直线经过椭圆C：的左焦点，与椭圆相交于A，B两点，求：      (1)线段的中点M的坐标； (2)的值． 4．（2023秋·贵州·高二校考期末）已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为. （1）求该椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且点恰为弦的中点，求直线的方程. 5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C的焦点分别为F1，F2，长轴长为6，设直线交椭圆C于A，B两点. (1)求线段 AB的中点坐标； (2)求△OAB的面积. 6．（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求． 7．（2023秋·山东淄博·高二校考期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程及弦的长度. 【考点2：双曲线的中点弦问题】 【知识点：双曲线的中点弦问题】 1．（2023秋·江苏南通·高二统考阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 2．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 3．（2023·全国·高二专题练习）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 5．（2023秋·全国·高二期中）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点． (1)求直线的方程． (2)求线段的长． 6．（2024·全国·高三专题练习）过双曲线的弦，且为弦的中点，求直线的方程. 7．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点. (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 8．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为. (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程. 9．（2023·全国·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求： (1)双曲线的方程及其渐近线方程； (2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长． 【考点3：抛物线中点弦问题】 【知识点：抛物线的中点弦问题】 1．（2024·全国·高三专题练习）抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为 . 2．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 3．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ． 4．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为 5．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已